Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

04.01.2011, 15:54

Claudia105

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Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

Hallo!

Ich soll zeigen, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{4} + 3x^{3} + x^{2} - 2x + 1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Q[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Das soll mit dem Reduktionskriterium und mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ / 2 $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ klappen.

Ich habe nun das Problem, dass ich mit diesem Kriterium noch nicht zurecht komme, da ich zum Beispiel immer noch nicht verstanden habe, was dieses $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ / 2 $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wirklich ist bzw wie man damit rechnet.

Ich weiß das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ / 2 $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ gilt, aber auch damit kann ich dann nicht weiter rechnen. Angeblich soll dann $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$ dabei rauskommen, aber ich versteh nicht, wie man darauf kommt. Vielleicht kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären?

Und selbst wenn ich $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$ jetzt erst mal als gegeben hinnehmen würde, komme ich wegen der Irreduzibilität nicht weiter.

Ich hoffe, jemand kann für mich Licht ins Dunkle bringen smile

smile

04.01.2011, 15:58

lgrizu

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RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Du betrachtest die Koeffizienten deines Polynoms einfach in der Restklasse modulo 2,

also der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$

der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3 \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$ usw.

Dann überprüfst du, ob das Polynom Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ hat.

04.01.2011, 16:03

Claudia105

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RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

Zitat:

Original von lgrizu
Du betrachtest die Koeffizienten deines Polynoms einfach in der Restklasse modulo 2,

also der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$

der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3 \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$ usw.

Das habe ich versucht, $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 3x^3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verstehe ich auch, da habe ich für mod 2 überall 1 raus. Aber $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ mit Koeffizient 2 müsste dann bei mod 2 doch 0 sein oder?

Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$ raus?

04.01.2011, 16:05

Mulder

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RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

Zitat:

Original von Claudia105
Ich soll zeigen, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{4} + 3x^{3} + x^{2} - 2x + 1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Q[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. [...]
Angeblich soll dann $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$ dabei rauskommen [...]

Gerechnet habe ich jetzt nichts, aber das hier passt nicht zusammen. -2 modulo 2 ist nicht 1. Entweder hast du also das Polynom falsch abgeschrieben, oder die angebliche Lösung stimmt nicht.

Edit: ah, es ist schon aufgefallen.

04.01.2011, 16:16

Claudia105

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RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

Zitat:

Original von Mulder
Gerechnet habe ich jetzt nichts, aber das hier passt nicht zusammen. -2 modulo 2 ist nicht 1. Entweder hast du also das Polynom falsch abgeschrieben, oder die angebliche Lösung stimmt nicht..

Dann ist ja vielleicht mein $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$ richtig?

Falls ja, kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich da die Nullstellen rausbekomme und was ich wegen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ dabei beachten muss?

Bzw darf da überhaupt eine Nullstelle rauskommen? ich bin jetzt gerade über den Zusammenhang zwischen Nullstelle und irreduzibel verwirrt. War es nicht so, dass das Polynom nur irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle gibt?

Edit: Polynomdivison hat bisher nichts gebracht.

04.01.2011, 16:22

Leopold

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Nun, offenbar ist 1 eine Nullstelle, womit du in der Tat nichts erreicht hast (siehe letzten Beitrag von Mulder).

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04.01.2011, 16:46

Claudia105

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Zitat:

Original von Leopold
Nun, offenbar ist 1 eine Nullstelle, womit du in der Tat nichts erreicht hast (siehe letzten Beitrag von Mulder).

Bei f = $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$ ist 1 eine Nullstelle? geschockt

geschockt

Ich war ja dafür, dass sie vielleicht keine hat, und deswegen irreduzibel ist. Aber ich weiß es nicht verwirrt

verwirrt

04.01.2011, 16:52

Leopold

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Wir sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ . Und da gilt $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ .

04.01.2011, 16:54

Claudia105

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Ups, da hab ich nicht dran gedacht ... hm, wenn ich eine Nullstelle habe ist es ja nicht irreduzibel oder?

Hat dann jemand eine andere Idee, wie ich es lösen kann? Es muss auch nicht über das Reduktionskriterium sein. Ich hatte nur den Tipp bekommen und wir haben gerade dieses Kriterium und das Eisensteinkriterium gehabt und das erste Polynom ließ sich mit Eisenstein beweisen, deshalb dachte ich, dass nun das Reduktionskriterium dran wäre.

04.01.2011, 16:58

Claudia105

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Ich habe hier durch Zufall auch einen Lösungsvorschlag gefunden.

[attach]17389[/attach]

Aber ich hätte es lieber mit dem Reduktionskriterium oder dem Eisensteinkriterium gelöst, falls mir jemand da sagen könnte, wie es geht.

04.01.2011, 17:08

Leopold

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Reduziere modulo 3. Das reduzierte Polynom hat keine Nullstellen. Es könnte dann noch in quadratische Faktoren zerfallen. Jetzt muß man die Polynomdivision durch die drei normierten quadratischen irreduziblen Polynome modulo 3 ausprobieren.

04.01.2011, 17:11

Claudia105

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Danke für den Tipp!

Gilt denn auch: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ / 3 $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ ansonsten weiß ich nämlich nicht, wie ich das auf mein Polynom anwenden kann.

04.01.2011, 17:19

Leopold

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Ja. Und am besten rechnest du mit $\begin{eqnarray*} -1,0,1 \end{eqnarray*}$ als den Restklassenvertretern.

04.01.2011, 17:55

Claudia105

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Ist das Polynom modulo 3 dann $\begin{eqnarray*} x^{4} + x^{2} + 2x + 1 \end{eqnarray*}$ ?

Bin mir besonderns bei -2x = +2x mod 3 nicht sicher.

Kann ich dann jetzt versuchen einen Linearfaktor zu finden? und wende ich dann hinterher an dass ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ bin oder muss ich das gleich irgendwie berücksichtigen?

04.01.2011, 18:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} -2 \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

Immer alle Dreierschritte weiter bekommt man einen Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse. Modulo 3 ist also das Polynom

$\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

zu untersuchen. Jetzt setzt man die drei möglichen Werte $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Z}_3 = \{ -1,0,1 \} \end{eqnarray*}$ ein und stellt fest, daß keiner eine Nullstelle ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^4 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 + 1 - 1 + 1 = -1 \end{eqnarray*}$ (rechne in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ )

Daher kann das Polynom keinen Linearfaktor abspalten. Es könnte also höchstens in zwei irreduzible quadratische Polynome zerfallen. Da es auf einen konstanten Faktor nicht ankommt, darf man die Polynome als normiert annehmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, gibt es davon drei Stück. Eines ist $\begin{eqnarray*} x^2 + x -1 \end{eqnarray*}$ . Wie lauten die beiden andern?
Und jetzt mußt du einfach ausprobieren, ob die Polynomdivision durch eines dieser drei Polynome aufgeht (auch hier wieder in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ rechnen). Wenn ja, hast du Pech gehabt. Wenn nein, dann muß $\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ selber irreduzibel sein.

05.01.2011, 16:29

Claudia105

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Danke für deine lange Antwort.

Bevor ich das versuche habe ich noch eine Frage:

Laut der Definition vom Reduktionskriterium wähle ich ein p , das Primelement ist und nicht den höchsten Koeffizienten teilt. Bei deiner Idee ist p = 3.

Darf nun 3 nicht den Koeffizienten teilen, der vor der Variable mit dem höchsten Exponten steht (also hier $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ oder den größen Koeffizienten also $\begin{eqnarray*} 3x^{3} \end{eqnarray*}$ ?

Ich vermute mal das erste, denn beim letzte würde es ja nicht klappen. Allerdings habe ich das nicht aus der Definition herausgelesen, daher wollte ich das für mein Verständnis noch mal klären.

05.01.2011, 16:32

lgrizu

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Zitat:

Original von Claudia105
Darf nun 3 nicht den Koeffizienten teilen, der vor der Variable mit dem höchsten Exponten steht (also hier $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ .

So ist es.

05.01.2011, 17:26

Claudia105

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@lgrizu: Danke, habe ich mir gleich mal neben die Definition geschrieben smile

smile

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} -2 \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

Immer alle Dreierschritte weiter bekommt man einen Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse. Modulo 3 ist also das Polynom

$\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

zu untersuchen. Jetzt setzt man die drei möglichen Werte $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Z}_3 = \{ -1,0,1 \} \end{eqnarray*}$ ein und stellt fest, daß keiner eine Nullstelle ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^4 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 + 1 - 1 + 1 = -1 \end{eqnarray*}$ (rechne in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ )
Daher kann das Polynom keinen Linearfaktor abspalten.

Bis hierhin konnte ich alles nachvollziehen. Aber das andere ist mir nicht mehr so klar.

Zitat:

Original von LeopoldEs könnte also höchstens in zwei irreduzible quadratische Polynome zerfallen. Da es auf einen konstanten Faktor nicht ankommt, darf man die Polynome als normiert annehmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, gibt es davon drei Stück. Eines ist $\begin{eqnarray*} x^2 + x -1 \end{eqnarray*}$ . Wie lauten die beiden andern?

Normiert ändert doch nichts, da unser Polynom unter mod 3 schon normiert ist.
Wie bist du auf das quadratische Polynom gekommen? Das weiß ich leider nicht, daher kann ich auch die anderen 2 nicht bestimmen.

Zitat:

Original von LeopoldUnd jetzt mußt du einfach ausprobieren, ob die Polynomdivision durch eines dieser drei Polynome aufgeht (auch hier wieder in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ rechnen). Wenn ja, hast du Pech gehabt. Wenn nein, dann muß $\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ selber irreduzibel sein.

Hier jetzt unser Polynom unter mod 3 durch die 3 noch zu bestimmenden Polynome teilen?
Mit $\begin{eqnarray*} x^2 + x -1 \end{eqnarray*}$ klappt es schon mal nicht, also die Divison geht nicht aus.

05.01.2011, 17:57

lgrizu

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Nun, die drei normierten Polynome, die Leopold meint sind die drei Polynome vom Grad 2, die nicht in linearfaktoren über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ zerfallen, ist dir klar, warum?

Wenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen und das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ durch ein Polynom vom Grad zwei, welches in Linearfaktoren zerfällt teilbar ist, so ist es auch durch die Linearfaktoren teilbar.

Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Polynome zu bestimmen.

1.) Wir bestimmen alle Polynome vom Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und sortieren die aus, die durch $\begin{eqnarray*} (x+a)(x+b), ~a,b \in \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ darstellbar sind (etwas rechenaufwendig)

oder

2.) Wir kennen die Poylnome, also "sehen", welche irreduzibel sind.

Dieses ist zum ersten das von dir genannte:

$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$

Nun sage mir, welche normierten 'Polynome vom Grad 2 existieren über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ?

Welche davon sind irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2011, 13:27

Claudia105

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Zitat:

Original von lgrizu
Nun, die drei normierten Polynome, die Leopold meint sind die drei Polynome vom Grad 2, die nicht in linearfaktoren über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ zerfallen, ist dir klar, warum?

Wenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen würden, dann hätten wir vorher bei dem Polynom schon einen Linearfaktor mit Grad 1 abspalten können. Da das nicht ging können wir also die Polynome vom Grad 2, die in Linearfaktoren zerfallen, ignorieren uns betrachten nur noch die irredzuiblen. Richtig?

Zitat:

Original von lgrizuWenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen und das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ durch ein Polynom vom Grad zwei, welches in Linearfaktoren zerfällt teilbar ist, so ist es auch durch die Linearfaktoren teilbar.

Macht Sinn für mich smile

smile

Zitat:

Original von lgrizu
Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Polynome zu bestimmen.

1.) Wir bestimmen alle Polynome vom Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und sortieren die aus, die durch $\begin{eqnarray*} (x+a)(x+b), ~a,b \in \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ darstellbar sind (etwas rechenaufwendig)

oder

2.) Wir kennen die Poylnome, also "sehen", welche irreduzibel sind.

Dieses ist zum ersten das von dir genannte:

$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$

Nun sage mir, welche normierten 'Polynome vom Grad 2 existieren über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ?

Welche davon sind irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ?

Sind das diese?
$\begin{eqnarray*} x^2+x+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel
$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel
$\begin{eqnarray*} x^2+x-1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel
$\begin{eqnarray*} x^2+x-2 \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 13:43

Claudia105

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Zusatz:

Falls das was ich oben geschrieben richtig ist, habe ich es schon mal mit Polynomdivision versucht. Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ ließ sich nicht durch eins der 3 Polynome

Zitat:

Original von Claudia105
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel
$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel
$\begin{eqnarray*} x^2+x-1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel

teilen. Also ist es nicht in Linearfaktoren zerlegbar und damit irreduzibel in Z3 und dann wegen dem Reduktionskriterium f irreduzibel in Q(Z[x]) = IQ[x]

Beweis zu Ende?

Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?

06.01.2011, 14:39

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 = (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ , also reduzibel.
Und die beiden anderen Polynome sind ja gleich! Daß $\begin{eqnarray*} x^2 + x - 1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, stimmt allerdings, denn $\begin{eqnarray*} 1^2 + 1 - 1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^2 + (-1) - 1 = -1 \end{eqnarray*}$ , so daß das Polynom keine Nullstellen besitzt.
Es fehlen noch zwei irreduzible Polynome vom Grad 2.

06.01.2011, 14:40

lgrizu

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Zunächst einmal sind die beiden Polynome $\begin{eqnarray*} x^2+x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ identisch, -1 und 2 liegen in der selben Restklasse.

Ich gebe dir mal alle normierten Polynome vom Grad 2 über dem Körper vor, du entscheidest, welche irreduzibel sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 14:57

Claudia105

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Zitat:

Original von lgrizu
Ich gebe dir mal alle normierten Polynome vom Grad 2 über dem Körper vor, du entscheidest, welche irreduzibel sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

smile

Bei denen, die ich für irreduzibel halte, schreibe ich das hin.

$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ ---

$\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$ ---

$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel

$\begin{eqnarray*} x^2-x+1 \end{eqnarray*}$ ---

$\begin{eqnarray*} x^2-x-1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel

$\begin{eqnarray*} x^2+x-1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ---

$\begin{eqnarray*} x^2-x \end{eqnarray*}$ ---

$\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ ---

Wenn ich mich nicht vertan habe, habe ich dann ja drei smile

smile

Und wenn ich jetzt das Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ nicht durch eins der 3 Polynome teilen kann, ist es nicht in Linearfaktoren zerlegbar und damit irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und dann wegen dem Reduktionskriterium f irreduzibel in Q( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ [x]) = $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [x]?

Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?

06.01.2011, 15:00

Leopold

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Zitat:

Original von Claudia105
Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?

So kannst du es machen. Aber immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ denken!

06.01.2011, 15:08

Claudia105

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Wenn ich oben die richtigen 3 Polynome gefunden habe, dann klappt Polynomdivision mit denen nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Ich versuch das dann mal sinnvoll aufzuschreiben ^^ Vielen lieben Dank für eure Hilfe!!!!! Das hat mir echt enorm geholfen!!

06.01.2011, 15:42

Claudia105

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Ich habe noch eine Frage, die zu diesem Thema passt und zwar soll ich alle irreduziblen Polynome vom Grad <= 3 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich habe ja gerade die Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ bestimmt, weiß also wie es geht, aber nun bin ich mir nicht sicher, ob es einen Unterschied macht, ob ich die Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen soll.

Ist für euch bestimmt eine dumme Frage, aber ich habe das noch nicht so ganz verstanden, also was der Unterschied dazwischen ist usw. Deshalb muss ich da leider mal blöd fragen

06.01.2011, 15:55

Leopold

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Die Menge $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Menge der Polynome in der Unbestimmten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über dem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

Es ist also dasselbe, ob du sagst (beachte die Präpositionen!):

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Polynom über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom in $\begin{eqnarray*} R[x] \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 16:29

Claudia105

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Danke für die Erklärung, dass ist dann ja gar nicht kompliziert, man muss es nur mal gut erklärt bekommen smile

smile

Zitat:

Original von Claudia105
Ich habe noch eine Frage, die zu diesem Thema passt und zwar soll ich alle irreduziblen Polynome vom Grad <= 3 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Hierzu habe ich doch noch eine Frage:
Ich wollte jetzt wieder so vorgehen, dass ich alle möglichen Polynome aufschreibe und dann gucke, welche irreduzibel sind.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$ habe, kann dann eins der möglichen Polynome auch eine Variable weniger haben, also z.B. $\begin{eqnarray*} x^{3} + x + 1 \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten hatte ich erst mal diese:
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - x \end{eqnarray*}$

Sind das alle möglichen oder fehlen da noch welche?

Ist es richtig, dass die Polynome ersten Grade, also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$ immer irreduzibel sind? da kann ich ja nichts mehr zerlegen.

Und bei den anderen schaue ich wieder, wenn ich 0 bzw 1 einsetze ob dann irgendwo 0 rauskommt oder nicht.

Muss ich dabei noch irgendwas beachten?

06.01.2011, 16:37

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 1 = -1 \end{eqnarray*}$ ! Wir sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 = \{ 0 , 1 \} \end{eqnarray*}$ zwei Elemente hat, ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ aber durch seine vier Koeffizienten eindeutig bestimmt wird, muß es nach den Regeln der elementaren Kombinaotrik $\begin{eqnarray*} 2^4 = 16 \end{eqnarray*}$ Polynome geben, darunter natürlich auch die trivialen konstanten Polynome $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

06.01.2011, 16:52

Claudia105

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Okay, ich versuch mal auf 16 zu kommen smile

smile

Also 0 und 1, wobei die doch keine Rolle spielen oder? Vorhin haben wir Konstante auch nicht berücksichtigt, also sind diese nicht irreduzibel, richtig?

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} + x + 1 \end{eqnarray*}$

Das müssten sie jetzt hoffentlich sein. Ich hatte vorhin vergessen, das x = -x ist weil wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ sind.

Und nun sind die konstanten reduzibel,
die Polynome vom Grad 1 irreduzibel, weil das immer so ist
und bei den Polynomen vom Grad 2 und 3 setze ich nun 0 bzw 1 ein und wenn dann bei beiden nicht 0 rauskommt, sind sie irreduzibel. Denn wenn sie keine Nullstelle haben, kann man keinen Linearfaktor abspalten.

Man müsste nur beim Grad 4 aufpassen, da dann wieder die Zerlegung in 2 nicht irreduzible Polynome mit Grad 2 auftauchen könnten, wie bei der ersten Aufgabe. Richtig? (Ist nicht Teil der Aufgabe, nur für mein Verständnis).

06.01.2011, 17:00

Leopold

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Die 0 (hier das Nullpolynom) und Einheiten (hier nur das Polynom konstant 1) bleiben bei Teilbarkeitsaussagen außen vor. Reduzibilität und Irreduzibilität sind dafür schlicht nicht definiert.
Ansonsten stimmt deine Aufzählung und was du sonst noch ausführst.
Ich komme auf 5 irreduzible Polynome. Und du?

06.01.2011, 17:05

Claudia105

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Ich habe auch 5 smile

smile

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x + 1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, meien stimmen mit deinen überein *g*

Vielen Dank für deine schnelle, hilfreichen Antworten!!!

06.01.2011, 17:09

Leopold

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Zitat:

Original von Claudia105
Ich habe auch 5 smile

smile

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x + 1 \end{eqnarray*}$

Kleine Schwindlerin! (*grins*)

06.01.2011, 17:12

Claudia105

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ach Gott *lach*

das kommt vom zusammen kopieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

der vorletzte muss weg smile

smile

06.01.2011, 17:14

Leopold

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Na ja, modulo 1 gilt ja 5=6. Big Laugh

Big Laugh

Und "modulo" liebst du doch über alles ...

Dann tun wir den vorletzten weg.

06.01.2011, 17:20

Claudia105

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So langsam freunden modulo und ich uns an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist immerhin eine Sache, die ich generell verstehe, ich muss mich nur ständig dran erinnern *g*

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