Textaufgabe zum Logarithmus

21.11.2006, 21:08

Ribbity

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Textaufgabe zum Logarithmus

Also unser Mathelehrer hat uns für morgen folgende Textaufgabe gegeben:

Die Lichtempfindlichkeit von Filmen wird in den Einheiten DIN und ASA angegeben, deren Zusammenhang sich durch eine Exponentialfunktion

Zitat:

y= c * a^x

darstellen lässt. Dabei entsprechen 19° DIN dem Wert 64 ASA und 21° DIN dem Wert 100 ASA.

a) Ermittle eine Gleichung der Funktion f, die jedem DIN-Wert den zugehörigen ASA-Wert zuordnet.

b) Berechne die ASA-Werte für 18° DIN, 22° DIN, 24° DIN.

Wie mach ich denn da jetzt was?
Es gab schonmal so einen Thread, aber da habe ich die Eerklärung überhaupt nicht verstanden :-S

21.11.2006, 21:22

mYthos

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Hi!

Nachdem in der Funktion die zwei Konstanten c und a unbekannt sind, können die zwei gegebenen Zahlenpaare dazu verwendet werden, diese Konstanten zu berechnen. Dazu setzt du die Zahlenpaare einfach in die Funktion ein (x ... DIN, y .. ASA) und löst die beiden entstehenden Gleichungen nach a, c auf.

Jetzt klar?

mY+

21.11.2006, 21:24

Ribbity

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Wie genau löse ich das denn dann nach c auf, ich glaub ich hab das schon wieder vergessen verwirrt

verwirrt

21.11.2006, 21:31

mYthos

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Nur nach c? Nach a geht's?

Zeig' bitte mal, was entsteht, wenn du die Zahlenpaare (19;64) und (21;100) eingesetzt hast ...

mY+

21.11.2006, 21:37

Ribbity

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Also wäre das sowas wie

64= c * a ^19? verwirrt

verwirrt

Sorry ich bin echt ne Niete in Mathe^^

21.11.2006, 21:38

mYthos

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Ja, das stimmt, ist aber erst die Hälfte, jetzt noch die zweite ...

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21.11.2006, 21:40

Ribbity

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64= c * a ^19 und 100= c * a^21
wie genau hilft mir das denn nun eine Gleichung zu erstellen?

21.11.2006, 21:44

mYthos

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Du brauchst die beiden Konstanten a, c und dazu hast du jetzt zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 64 = c \cdot a^{19} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100 = c \cdot a^{21} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------

Hinweis: Dividiere die die untere durch die obere ... (c kürzt sich, -> Gleichung in a)

mY+

21.11.2006, 21:48

Ribbity

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asoo, sorry wegen dem ^ hab ich das glatt für 2 verschiedene Zahlen gehalten.

also ich würde jetzt beim ersten z.B. die Wurzel aus 19 ziehen und dann geteilt durch c?

21.11.2006, 21:53

mYthos

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Die Wurzel aus 19 sicher nicht, denn 19 ist ein Exponent, höchstens die 19. Wurzel .. das bringt aber hier nichts, weil das c noch da ist. Führe doch mal den Hinweis aus!

mY+

21.11.2006, 22:04

Ribbity

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Ach jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 64 = c \cdot a^{19} \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 = c \cdot a^{21} \end{eqnarray*}$

Das c kann man kürzen dann steht da

$\begin{eqnarray*} 64 =a^{19} \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a^{21} \end{eqnarray*}$

Jetzt Potenzgesetze, dass bedeutet:

$\begin{eqnarray*} 64 =a \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a^{2} \end{eqnarray*}$

das heißt doch dann

$\begin{eqnarray*} 64 =a \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a \cdot a \end{eqnarray*}$

das kann man wieder kürzen

$\begin{eqnarray*} 64 \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 = a \end{eqnarray*}$

heißt das jetzt 64 durch 100 gleich a? :S

21.11.2006, 22:08

derkoch

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Zitat:

Original von Ribbity
Ach jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 64 = c \cdot a^{19} \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 = c \cdot a^{21} \end{eqnarray*}$

Das c kann man kürzen dann steht da

$\begin{eqnarray*} 64 =a^{19} \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a^{21} \end{eqnarray*}$

Bis dahin alles oki!

Zitat:

Original von Ribbity

Jetzt Potenzgesetze, dass bedeutet:

$\begin{eqnarray*} 64 =a \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a^{2} \end{eqnarray*}$

das heißt doch dann

$\begin{eqnarray*} 64 =a \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 =a \cdot a \end{eqnarray*}$

das kann man wieder kürzen

$\begin{eqnarray*} 64 \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 100 = a \end{eqnarray*}$

heißt das jetzt 64 durch 100 gleich a? :S

dieser teil ist falsch!

21.11.2006, 22:09

Ribbity

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Dann die jeweilige Wurzel ziehen oder wie?

21.11.2006, 22:23

mYthos

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Mach's mal ...

[ $\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{100}{64} \end{eqnarray*}$ ]

21.11.2006, 22:25

Ribbity

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nene bin noch da
will nur ne bestätigung
alsooo
soll ich ich jetzt die Wurzeln ziehen und dann einfach Teilen und das Ergebnis in ein KOS zeichnen?

21.11.2006, 22:27

mYthos

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Moment, du bist ja noch nicht fertig, selbst wenn du das a (endlich mal richtig) hast, brauchst ja noch das c ..., dann kommt erst das KOS, mit Wertetabelle und so ....

Schau mal oben mein Edit.

21.11.2006, 22:30

Ribbity

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Wie komm ich denn nun auf

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{100}{64} \end{eqnarray*}$ ?

Mit den Potenzrechnungen die ich da machen wollte gings ja nicht hat Derkoch gesagt

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{100}{64} \end{eqnarray*}$

ist ja 1,5625 und die Wurzel davon ist 1,25 Oo

21.11.2006, 22:34

mYthos

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derkoch hat nur gesagt, dass deine Rechnung falsch war und das war's auch recht kräftig, du kannst doch einen Bruch niemals so trennen, wie du das gemacht hast!

So das a haben wir mal, wie geht's jetzt weiter (c = ??)

mY+

21.11.2006, 22:37

Ribbity

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64/a19 = c
Das ergibt in diesem Falle...
ca 0,9223

Aber ich Frag mich immernoch wie du nmeinen Krüppelbruch da zu so einem eleganten

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{100}{64} \end{eqnarray*}$

hinbekommen hast

21.11.2006, 22:46

mYthos

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ok, das c stimmt.

Der Bruch entsteht ja durch Division der beiden Gleichungen: Linke Seite durch linke Seite = rechte Seite durch rechte Seite
->

EDIT: Schreibfehler, Bruch umgedreht:

$\begin{eqnarray*} \frac{100}{64} = \frac{a^{21}}{a^{19}} \end{eqnarray*}$

jetzt rechts und links kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{16} = a^{2} \end{eqnarray*}$

nun links und rechts Wurzel ziehen
...
was passiert dann?

21.11.2006, 22:53

Ribbity

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16 durch 25 = 0,64 | Wurzel
0,8

a=0,8

c müsste beim zweitem dann ja folgendes sein..

100 = c * 0,8^21 |geteilt durch a^21
100/0,8^21 = c

ok... bei mir kommt da ungefähr 10842,022 raus, das hört sich sehr falsch an

21.11.2006, 22:55

mYthos

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Sorry, ich hab' mich vertan, der Bruch gehört umgedreht! Ich muss's editieren .. wart mal

a = 1,25 und dein c war eh richtig! c = 0,92234

21.11.2006, 23:01

Ribbity

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ok dann..
25/16 = 1,5625 |Wurzel
1,25 = a

Das bedeutet dann:

das c ungefähr = 0,9223 ist...
(100/1,25^21)

:S

21.11.2006, 23:13

Ribbity

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und was muss ich jetzt machen?
ist a=din? oder wie? :S

21.11.2006, 23:33

mYthos

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Nein, du setzt nun a und c in die Funktion ein, diese beschreibt den Zusammenhang zwischen DIN und ASA! Und zwar, wie ASA von DIN abhängt.

für x .. DIN
-> y in ASA

Passt das?

21.11.2006, 23:33

Ribbity

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Ach ist die Funktion jetzt f(y)= 0,92234 * 1,25^x?

EDIT:
Neee das kanns ja gar nicht sein T___T
Muss ich das jetzt nach x umstellen mit dem Logarithmus irgendwie?

21.11.2006, 23:39

mYthos

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Ja, fast!

Du meinst sicher f(x), also

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0,92234 \cdot 1,25^x \end{eqnarray*}$

damit gilt quasi (salopp gesagt)

$\begin{eqnarray*} ASA = 0,92234 \cdot 1,25^{DIN} \end{eqnarray*}$

also wenn du rechts eine DIN-Zahl einsetzt, bekommst du links den äquvalenten ASA-Wert.

-------------

Wenn du allerdings (umgekehrt) die DIN aus den ASA haben willst, DANN muss die Umkehrfunktion berechnet werden, und diese ist eine logarithmische.

Dazu muss die Funktionsgleichung nach x aufgelöst werden ... (dies führt auf den Logarithmus)

mY+

21.11.2006, 23:41

Ribbity

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asooo, wow danke sehr.
Jetzt hab ich das auch von dem Ablauf her verstanden.

und bei Aufgabe b) muss ich dann aber den Logarithmus nehmen, oder?

EDIT: Ach quatsch was red ich denn? XD
Ich muss einfach nur die Zahlen einsetzen

21.11.2006, 23:44

mYthos

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Was ist in b) verlangt? Doch die ASA aus den DIN, also was setzt du wo ein?

Aber:
Was passiert, wenn 400 ASA in DIN umgerechnet werden sollen?

mY+

21.11.2006, 23:46

Ribbity

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Also meine erste Antwort lautet jetzt:

18° DIN = 0,92234 * 1,25^18 und das ergibt ungefähr 51,2

Zum zweiten, genau, da müsste ich dann den Logarithmus nehmen und dann durch log(0,92234) teilen usw.^^

21.11.2006, 23:57

mYthos

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1. passt, beim 2. wird mal die Gleichung logarithmiert

$\begin{eqnarray*} log(y) = log(0,92234) + x \cdot log(1,25) \end{eqnarray*}$

daher musst du zuerst log(0,92234) subtrahieren und dann durch den log(1,25) dividieren ... damit du x alleine hast.

$\begin{eqnarray*} x (DIN) = \frac{log(y(DIN)) - log(0,92234)}{log(1,25)} \end{eqnarray*}$

mY+

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