Sylow

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Sylow
Meine Frage:
Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12, und es bezeichne die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.

Man zeige, dass im Fall die Gruppe G abelsch ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?

Meine Ideen:
Sind , so gibt es also nur eine 2-Sylowgruppe und eine 3-Sylowgruppe und diese sind jeweils Normalteiler in G.

Ich bezeichne jetzt mal die 2-Sylowgruppe mit A und die 3-Sylowgruppe mit B.

Wegen der Normalteilereigenschaft von A gilt: .

Und ebenso: .

Ich weiß leider ab hier nicht weiter.
Was die Isomorphietypen angeht, bin ich total überfragt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte gerne einen Vorschlag machen.

Also, sei A die 2-Sylowgruppe und B sei die 3-Sylow-Gruppe.

Man nehme .

Jetzt betrachtet man: .

Weil A Normalteiler ist, gilt: .
Weil B Normalteiler ist, gilt: .

Weiter:

.

Man kann das auch schreiben als:

bzw. .

Da gilt:



Also wird G von ab erzeugt und ist zyklisch und alle zyklischen Gruppen sind abelsch.

Kann man das so machen??


Und zu den Isomorphietypen:

Es gilt Folgendes:

Und zwar ist oder ,
oder .

Weiter gilt, dass nie gemeinsam auftreten können.

Irgendwie so müsste man verschiedene Fälle unterschieden.
Und man kann ja unabhängig davon sagen:
A ist isomorph zu bzw. ,
B ist isomorph zu .
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Den ersten Teil kann man, glaube ich, auch einfacher formulieren:

Sei .

Seien die jeweils einzigen p-Sylowgruppen für p=2,3.

Weil teilerfremd sind, gilt .
Da , ist die Untergruppe von G ein direktes Produkt dieser beiden Gruppen.

Und wegen folgt .

Außerdem gilt:
.

Also

sowie
.

Somit ist G zyklisch und daher abelsch.

Außerdem sind damit schon zwei Isomorphietypen gefunden, aber es sind sicher nicht alle.

Wer kann helfen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, dass ich so viele Beiträge hintereinander schreibe, aber ich ergänze immer ein bisschen was, damit sich niemand unnötig abmühen muss.

Zum zweiten Teil der Aufgabe (Isomorphietypen) sind dies meine Resultate:

1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)

In Worten: Ich habe verschiedene Fälle betrachtet, nämlich

I. normal, d.h.
Dann kann auch normal sein () (oder nicht ()).
Dementsprechend gibt es semidirekte oder direkte Produkte, je für die beiden "Darstellungsweisen" () für und die eine "Darstellungsweise" () für .

II. nicht normal, d.h.
Dann ist normal.
Denn nie sind gleichzeitig nicht normal [Das musste in einer vorangehenden Aufgabe gezeigt werden.].
Also gibt es hier nur semidirekte Produkte.


Ich hoffe, ich liege so (einigermaßen) korrekt.
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