Hom(r^3,r^2)

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05.01.2011, 23:14	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hom(r^3,r^2) Hallo Leute, ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe. (a) Vorgelegt seien die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \in Hom_{\mathbb R } (\mathbb R ^{3} ,\mathbb R ^{2} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} \\ 2\cdot x_{3}-x_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie die Basen $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} A^{} , B^{} \end{eqnarray}$ sowie (der schwierigere Part) $\begin{eqnarray} [\varphi ]_{B,A} = M_{B,A} (\varphi)\in \mathbb R ^{2x3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{}, B^{} \end{eqnarray}$ habe ich schon ermittelt. $\begin{eqnarray} A^{} = \begin{pmatrix} 0& 1 & -1 \\ 0 &1 & 0\\ 1 & -2& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B^{} = \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir einer bitte den schwierigen Part mal bitte kurz erläutern? Hat es hier etwas mit Basistransformationen zu tun? Danke für eure Tipps.
06.01.2011, 09:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst es einem nicht leicht. Und zwar, weil du vorlesungsinterne Bezeichnungen verwendest, ohne diese weiter zu erläutern. Ich mußte ewig nachdenken, was denn der * bedeuten sollte. Bis ich schließlich darauf kam, daß er wohl für die inverse Matrix steht. Üblicherweise wird die aber mit einem hochgestellten Exponenten -1 bezeichnet. Sehr verwirrend. Und auch dieses eckiggeklammerte $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Ich vermute einmal, daß du $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ durch eine Matrix beschreiben sollst mit der Basis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ im Urbild- und der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ im Bildraum. Wenn das so ist, dann bestimme für die Spalten $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Bilder und stelle sie als Linearkombinationen bezüglich der Spalten $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ dar: $\begin{eqnarray} \varphi(u) = \mu_{11} p + \mu_{21} q \end{eqnarray}$ Die Skalare $\begin{eqnarray} \mu_{11},\mu_{21} \end{eqnarray}$ bilden die erste Spalte der gesuchten 2×3-Matrix. Entsprechend dann $\begin{eqnarray} \varphi(v),\varphi(w) \end{eqnarray}$ für die andern Spalten.
06.01.2011, 11:28	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} A^{} ,B^{} \end{eqnarray}$ sind die dualen Basen gemeint. Ich habe dann die Spalten der inversen Matrix, dann als duale Basis in $\begin{eqnarray} A^{} ,B^{} \end{eqnarray}$ geschrieben. Um Missverständnisse auszuräumen lade ich das Übungsblatt hoch.
06.01.2011, 14:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Acrobat Reader weigert sich, deine Datei zu öffnen.
06.01.2011, 14:48	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt vllt? Ich empfehle Foxit Reader:P
07.01.2011, 07:51	Molly23	Auf diesen Beitrag antworten »
hey ich habe eine frage oder anmerkung zu der dualen basis A* und hoffe, dass diese auch richtig is, bin erst im 1. semester also ich habe es so gelernt, die basisvektoren als spalten in eine matrix zu schreiben, diese matrix muss man dann invertieren und die zeilenvektoren der inversen bilden dann die duale basis... dann sieht A* ja so aus: $\begin{eqnarray} A^ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das überhaupt richtig und is das das gleiche wie A von G0rd0nGeKK0? danke
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07.01.2011, 14:25	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, ich hab A stern B stern falsch..denn das ist ja nur die invertierte Matrix.. Aber ich denke das Stimmt von dir Molly:P Würde es aber gern noch genau wissen
07.01.2011, 18:01	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
kann uns das jemand bitte beantworten?
09.01.2011, 15:23	Molly23	Auf diesen Beitrag antworten »
anscheinend nicht hab aber nochmal eine frage an dich... hast du den rest des aufgabenblattes lösen können??? ich studiere ja anscheinend mit dir zusammen und komme irgendwie nur mit der ersten aufgabe so richtig klar liebe grüße

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