HöchstGeschwindigkeit/Beschleunigung |
| 06.01.2011, 00:55 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| HöchstGeschwindigkeit/Beschleunigung Ich habe die Aufgabe herauszufinden an welchen Zeitpunkten einer "Zeit/Geschwindigkeit-Geschichte" die höchste Geschwindigkeit und die höchste Beschleunigung ist. Ich habe 6 Zeit/Geschwindigkeit Werte und eine Funktion die sie beschreibt. Die Funktion sieht gezeichnet in etwa so aus:  http://img816.imageshack.us/img816/8185/matht.jpgEs ist recht offensichtlich zu sehen wo die Höchstgeschwindigkeit ist (y-Achse=Geschwindigkeit) und da die Parabel erst spät "ansteigt" und mit ihr die Beschleunigung langsam zunimmt scheint es mir recht offensichtlich, dass die höchste Beschleunigung am Ende dieser Parabel ist. Mein Problem ist jetzt, wie man die Höchstgeschwindigkeit/-beschleunigung auch rechnerisch nachweisen kann. Würde mich über Hilfe freuen. Danke im Voraus. |
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| 06.01.2011, 01:07 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: HöchstGeschwindigkeit/Beschleunigung
Um etwas rechnerisch nachweisen zu können, brauchen wir zunächst auch etwas zum rechnen. Verrate uns doch mal die Funktion und die Werte, die Du hast. |
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| 06.01.2011, 01:07 | Chefkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ist mit Extremwerten? du suchst einmal für die geschwindigkeit den höchsten Wert, und einmal für die Beschleunigung den höchsten Wert. beides können dir Extremwerte liefern.. |
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| 06.01.2011, 01:37 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Funktion: f( x )=0,000012246*x^4 + (-0,00107976)*x³ + 0,0440415*x² + (-0,95478*x) + 17,6 Die Funktion wurde mit diesen 5 Werten aufgestellt: P1(0/17,6) P2(10,9/11,2) P3(18,4/9,62) P4(32,1/9,62) P5(38/11,2) @Chefkoch: "Extremwerte" sagen mir auf den ersten Blick nichts, bzw. erinnere ich mich nicht an Details. Wie werden diese denn ausgerechnet? Ich möchte nicht, dass ihr die Aufgabe für mich löst, deswegen hatte ich zuerst keine Zahlen geschrieben. Ich brauch nur einen Rechenweg mit dem ich auf die Lösung komme. |
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| 06.01.2011, 02:02 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Chefkoch ist momentan nicht online, deshalb gebe ich Dir noch ein paar Denkanstöße zu "Extremwerte": Sagen Dir die Begriffe "Tiefpunkt", "Hochpunkt", "lokales Minimum", "lokales Maximum", "globales Minimum", "globales Maximum" etwas? Alles das können Extremwerte einer Funktion sein. Da Du unter "Analysis" gepostet hast, nehme ich an, daß Du Dich bereits mit Differentialrechnung beschäftigt hast. Und dort werden z.B. Ableitungen benutzt, um Hoch- und Tiefpunkte zu bestimmen. Und physikalisch sind ja die Geschwindigkeit als Ableitung des Weges, die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit (bzw. als zweite Ableitung des Weges) definiert. Und jetzt heißt es eben, die Kriterien bei den gegebenen bzw. abgeleiteten Funktionen anzuwenden, um die Extremwerte zu bestimmen. Das ist ja nun ein wesentliches Thema der Differentialrechnung innerhalb der Analysis ("Funktionsdiskussion"). Noch etwas: Bist Du Dir sicher daß Du die von Dir genannten Höchstwerte nur in dem von Dir skizzierten Intervall bestimmen sollst (das skizzierte Intervall hast Du bestimmt wegen der gegeben Punkte so eingeschränkt). Die genannte Funktion ist ja auf ganz definiert. Und ich kann mir nicht vorstellen, daß irgend ein Gefährt sofort, da.h zum Zeitpunkt sofort auf Höchstgeschwindigkeit anfährt ohne zu beschleunigen. Dies ist aber nur eine Vermutung von mir. Vielleicht sollst Du ja tatsächlich nur dieses Intervall betrachten!?! Mehr kann ich Dir heute leider nicht helfen, da ich jetzt Feierabend mache. |
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| 06.01.2011, 02:31 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Edit (mY+): Unnötiger und vor allem langer und vollständiger Quote wurde entfernt. Bitte nur relevante Stellen quoten und generell Quota sparsam verwenden. Ist schon richtig so, geht nicht um ein Auto. Bei P1 fängt der Vorgang an, bei P5 endet er. Ich werde mir das mit den Ableitungen nochmal anschauen, ich erinnere mich nurnoch daran, dass z.B. 2x³ abgeleitet 6x² ist. Falls du mir noch Hinweise geben willst, gerne auch per PM, wäre ich dankbar, ich wüsste jetzt nicht sicher welche Gleichung (wahrscheinlich meine oben gepostete Funktion) ableiten muss und wie es dann weitergeht aber ich schaue es mir schonmal an.. ist lange her als wir das Thema behandelt haben. Danke schonmal bis hier. |
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| 06.01.2011, 02:59 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Letzte Hinweise für heute!
Das ist schon mal richtig erinnert! Du mußt Dir jetzt nur noch die Ableitungsregeln für alle möglichen Funktionsarten raussuchen.
Dann wirst Du die gegebene Funktion wohl nur im Intervall [0; 38] behandeln müssen.
Nach Deinen eigenen Angaben beschreibt die o.g. Funktion f(x) die Geschwindigkeit. Deren Ableitung f'(x) beschreibt dann die Beschleunigung. Eine Darstellung über Extremwerte und deren Bestimmung mittels Differentialrechnung findest Du hier: Wikipedia - Extremwert. Morgen können wir in Details gehen. Jetzt gilt 
PS:
PN sind nicht für thematische Hinweise gedacht! Es sollen andere das Thema ja auch verfolgen und gegebenenfalls Hilfestellung geben können. PN sollte man nutzen für 
oder 
oder 
oder 
... |
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| 06.01.2011, 21:42 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, also.. Ich habe jetzt folgendes getan um die Höchstgeschwindigkeit rauszufinden: f:[0,38]>|R,x->0,000012246*x^4 + (-0,00107976)*x³ + 0,0440415*x² + (-0,95478*x) + 17,6 f'(x) = 4,90x³ - 3,24x² + 0,09x - 0,95478 0 = 4,90x³ - 3,24x² + 0,09x - 0,95478 Ich weiß nicht wie ich von hier an weiterkomme. Ich habe bisher nur gefunden, dass ich "raten" muss, was ich mit den Kommastellen recht schwer umsetzbar finde. |
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| 06.01.2011, 22:37 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
[attach]17448[/attach] Edit: korrigiert* (vgl. unten) Das sind der Reihe nach die Graphen von f, f ' und f ''. Die minimale Geschwindigkeit findet man auf Graph f im Tiefpunkt, dort ist f ' null. Die Beschleunigung wird (hier) durch f ' beschrieben. Die anfänglich negative Beschleunigung bremst ab, um dann später die Geschwindigkeit wieder zu steigern. Die Beschleunigung hat kein Extremum, sie wächst stetig; deshalb hat f '' keine Nullstelle. |
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| 06.01.2011, 22:49 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also bedeutet das, dass sich (da die Geschwindigkeit nie Null beträgt) die Höchstgeschwindigkeit nicht ausrechnen lässt (aber abzulesen von den Graphen?). Wie sieht es mit der Beschleunigung und meiner Rechnung aus? Und zu den Graphen: Die Erste zeigt die Geschwindigkeit laut der Funktion, die Zweite zeigt die Beschleunigung? Was zeigt die Dritte bzw. was bedeutet f''(x) für meine Funktion? |
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| 06.01.2011, 22:59 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
f beschreibt ja die zeitabhängige Geschwindigkeit, nicht den Ort; sorry, das habe ich überlesen. Ich korrigiere* deshalb die obige Beschreibung und du bitte das Zitat. |
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| 06.01.2011, 23:12 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Minimale Geschwindigkeit ist also etwa bei 25,25sek. Wie kriege ich raus wo die Maximale ist? Geht das Rechnerisch? Auf dem Graphen sieht man ja, dass sie bei 0 am höchsten ist. Und die Maximale Beschleunigung lässt sich nicht berechnen + sie ist am letztmöglichen Zeitpunkt am höchsten da sie stetig wächst? |
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| 06.01.2011, 23:25 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die minimale Geschwindigkeit ist ca. bei 25.6503 (f '=0 mit CAS gelöst). Die Maximalgeschwindigkeit ist am linken oder rechten Rand. Auch die Beschleunigung hat nur Randextrema. |
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| 07.01.2011, 00:03 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Someonee Bist Du noch an der rechnerischen Ableitung der Ergebnisse interessiert?
Wie kommst Du eigentlich auf diese Ableitung von f(x) ? (Einige Posts zuvor) Um zu bestätigen, ob zum Zeitpunkt 0 die Geschwindigkeit 17,6 tatsächlich die maximale Geschwindigkeit im gegebenen Intervall ist (globales Maximum), mußt Du doch nur zeigen, daß für alle x im Intervall f(x) <= 17,6 gilt. @wisili
ist aber nur eine notwendige Bedingung für ein lokales Minimum. Die hinreichende Bedingung ist . |
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| 07.01.2011, 00:27 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Naja, ich habe 0,000012246*4 genommen (4,9 kommt mir aber als Ergebnis sehr komisch vor, eigentlich unmöglich, so sagts mir aber mein Taschenrechner), dann von ^4 ein abgezogen, Ableitung halt. |
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| 07.01.2011, 00:34 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Na, es kommt Dir nicht nur komisch vor, er ist auch falsch! Sieht man doch eigentlich mit bloßem Auge, daß 4 * 0,00001... = 0,00004... ist. Und 3,24 ist auch falsch! 0,09 ist wohl gerundet. Warum? Das tut man so spät, wie möglich, um Rundungsfehler zu vermeiden! |
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| 07.01.2011, 00:47 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe die -05 bzw. -03 hinter den Zahlen "übersehen". Also dann f'(x)= 0,000048984x³ - 0,00323928x² + 0,088083x - 0,95478 Bleibt das Problem, wie geht es weiter..? (Und rechne ich hier die Max. Beschleunigung oder doch die Geschwindigkeit aus?) |
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| 07.01.2011, 01:10 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Laut Deiner Aufgabenstellung suchst Du erstens die max. Geschwindigkeit. Dazu habe ich Dir oben ja schon die Anleitung f(x) <= 17,6 (mit 17,6 als vermuteter max. Geschwindigkeit) gegeben. Die Erklärung mit zwei Ableitungen f'(x) und f''(x) waren nur für die Bestimmung einer lokalen minimalen Geschwindigkeit, die Du aber laut Aufgabenstellung garnicht finden sollst. Für die Bestimmung der höchsten Beschleunigung kannst Du die jetzt schon bekannte Ableitung f'(x) verwenden. Der Graph von f'(x) läßt ja vermuten, daß diese sich am rechten Rand des Intervalls befindet. Berechne dort die Beschleunigung und prüfe, analog zur Prüfung der maximalen Geschwindigkeit mit f(x), ob es sich wirklich um den größten Wert von f'(x) im Intervall handelt. Alles, was ich zuvor über lokale Extremwerte, hinreichende und notwendige Bedingungen geschrieben habe, ist hier wohl überflüssig. Ich habe eher an eine allgemeine Kurvendiskussion von f(x) auf ganz gedacht. Aber Du hast ja schon die vorgegebenen Punkte und die Funktionsgraphen, um entsprechende Vermutungen über die Maxima anstellen zu können. Diese Vermutungen mußt Du jetzt nur noch prüfen. Dazu mußt Du dann natürlich mit f(x) eine quartische Gleichung (höchste Potenz 4) bzw. einer kubischen Gleichung (f'(x) mit höchster Potenz 3) umgehen. Ich nehme doch an, daß Ihr damit umgehen könnt, ansonsten würde ich mich etwas über die Aufgabenstellung wundern. Ich selbst müßte mich in diese Thematik erst (wieder) einarbeiten, da ich lange nichts damit zutun hatte. |
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| 07.01.2011, 01:15 | Someonee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ihr habt sehr geholfen, vielen Dank. |
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| 07.01.2011, 01:21 | Roman Oira-Oira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Freut mich! Tschüß ! 
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