Alle Ideale der rationalen Zahlen

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Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Ideale der rationalen Zahlen
Hallo liebe Mathematikergemainde,

folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten in Lineare Algebra 1:

Bestimmen Sie Alle Ideale vom Ring der rationalen Zahlen.

Mein Ansatz ist folgender: Da die Menge der rationalen Zahlen Q ein Körper ist, folgt, dass es auch einen Ring von Q gibt mit den trivialen Idealen (0) und (1).

Die anderen Ideale müssen also auch die Eigenschaft haben:
dass Sie nichtleere Teilmengen von Q sind,
dass für a,b aus einem Ideal I folgt, dass a-b ein Element von I ist.
und das für ein Element a aus I gilt, dass r*a ein Element von I ist, mit r aus Q.

ab hier fällt es mir schwer weiterzumachen, denn in der Aufgabenstelleung sollte man ja ALLE Ideale finden, also nach meinem Verständis auch solche, welche schon echt in anderen Idealen enthalten sind. Also das Ideal (4) ist ja eine echte Teilmenge vom Ideal (2), meint ihr ich soll solche Ideale auch noch aufführen?
Wenn ja dann würde ich wohl einen Ansatz wählen, der auf Potenzmengen aufbaut um alle Möglichkeiten abzudecken und wenn nicht, dann sollte man wohl einen Ansatz mit Primzahlen wählen, mit welchem die einzelnen Ideale quasi disjunkt sind.

Hat hier jemand einen Vorschlag wie man hier vorgehen sollte?
Oder habe ich die Aufgabe einfach völlig falsch verstanden?

Vielen Dank schon mal im Vorraus
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm ein vom Nullideal verschiedenes Ideal. Dieses enthält dann ein . Und wenn du jetzt mit multiplizierst?
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich jetzt dieses von 0 verschiedene Element a aus Q mit b multipliziere müsste 1 rauskommen da du ja b als inveres element der Multiplikation von a definiert hast. Also existiert zu jedem Element aus jedem Ideal (außer dem 0-Ideal)
ein inverser Element der Multiplikation(Da Q ja ein Körper ist welches ein siolches enthalten muss). Also so ganz weiß ich nicht wie ich diese Information noch weiter verarbeiten kann im Sinne der Fragestellung. Heißt das vielleicht das es außer den Idealen (0) und (1) keine weiteren mehr gibt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Ideale der rationalen Zahlen
Zitat:
Original von Tenergy64
und das für ein Element a aus I gilt, dass r*a ein Element von I ist, mit r aus Q.
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, also mit diesem Kriterium, folgt ja, dass alle Elemente aus Q in den Idealen (1) und (0) enthalten sind, falls ich das jetzt richtig interpretiere. Aber heißt das denn auch dass man die anderen Ideale nicht mehr aufzuführen braucht? Sind denn dann nicht sogar alle Elemente aus Q im Ideal (1)?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie redest du um den heißen Brei herum. Du hast gezeigt, daß jedes vom Nullideal verschiedene Ideal die 1 enthält. Folgerung?
 
 
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass alle vom Null-Ideal verschiedene Ideale aus Q Teilmengen vom Ideal (1) sind?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenergy64
Dass alle vom Null-Ideal verschiedene Ideale aus Q Teilmengen vom Ideal (1) sind?


Mehr!
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

echte Teilmengen also?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Falsche Richtung! !!!
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Bezug auf die Fragestellung sind dann alle Ideale die die eins enthalten und alle diejenigen die die 0 enthalten auch generell alle Ideale von Q?
Bitte sag dass das nicht falsch ist ;-)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was ich von dieser Antwort halten soll.
Gehen wir zu ursprünglichen Fragestellung zurück: Bestimme alle Ideale von .
Kannst du diese Frage möglichst einfach beantworten?
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist glaube ich, dass ich nicht so richtig ausdrücken kann was ich meine.
Da hier von allen Idealen aus Q die Rede ist, würde ich das wie folgt aufschreiben:
Seien I0 und I1 Ideale aus Q mit 0 element von I0 und 1 element von I1, dann folgt mit (hier kommt dann die Argumentation) => I0 und I1 sind alle Ideale aus Q. Wäre das so ok?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

0 ist aber auch Element von was du mit I1 bezeichnet hast, denn 0 ist Element eines jeden Ideals.

Vielleicht sagst du einmal mit einfachen Worten, wie das Ideal aussieht, das die 1 enthält. Das kann man wirklich mit einem einzigen Buchstaben erledigen.
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Q
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

also in worten alle elemente aus Q die sich durch 1 teilen lassen, also alle =>Q
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Das Einheitsideal ist in jedem Ring nichts anderes als der Ring selber:



Und sobald ein Ideal die 1 enthält, ist es bereits das Einheitsideal, also der ganze Ring.

Was sind also nun die Ideale von ?
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Ideale welche die 1 enthalten nehme ich jetzt mal an.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Heijeijei!

Wieviel Ideale gibt es denn, die die 1 enthalten?
Und was ist mit dem Nullideal ?
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

naja da Q unendlich ist, dann muss es also auch unendlich viele ideal geben welche die 1 enthalten. Das Nullideal gehört dann auch zur Menge aller Ideale von Q da:
Das Nullideal nicht leer ist, das es die 0 enthält,
0*x=0 für x aus Q und
0-0=0 gilt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenergy64
naja da Q unendlich ist, dann muss es also auch unendlich viele ideal geben welche die 1 enthalten.


Das ist falsch.
Hast du eigentlich meinen vorletzten Beitrag gelesen?
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo ok,

es gibt also nur ein Ideal das die 1 enthält, also Q selbst.
Ich wusste nicht dass man Q also den Ring selbst als Ideal bezeicnen kann, deswegen wusste ich das jetzt nicht anzuwenden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um das Ganze zusammenzufassen:

Der Körper hat wie jeder andere Körper genau zwei Ideale, nämlich die trivialen: das Nullideal und das Einheitsideal (=Körper).

Ideale werden also erst in Strukturen interessant, in denen man nicht durch jede von 0 verschiedene Zahl dividieren kann.
Tenergy64 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann möchte ich mich auf jeden fall noch mal für deine Hilfe bedanken Leopold!
Und für deine Geduld ;-)
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