normaler abschluss

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06.01.2011, 15:34	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
normaler abschluss Hallo, ich soll den normalen abschluss von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ bestimmen, doch die frage für mich ist wie?
06.01.2011, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zerfällungskorper des Minimalpolynoms $\begin{eqnarray} x^5-2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \sqrt[5]2 \end{eqnarray}$ ist normal über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , da er ein Zerfällungskörper einer Familie von irreduziblen Polynomen aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ ist. (Ist das jetzt schon eine "Komplettlösung", oder kann man darüber noch mehr wissen. )
06.01.2011, 21:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das würde ich nicht als Komplettlösung bezeichnen, vielmehr als Anregung, sich zu überlegen, dass eine Körpererweiterung $\begin{eqnarray} E/K \end{eqnarray}$ genau dann normal ist, wenn sie Zerfällungskörper einer Familie irreduzibler Polynome aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ist. Riemannson könnte sich außerdem Gedanken darüber machen, warum der Zerfällungskörper, den Elvis angegeben hat, tatsächlich der normale Abschluss ist, der ja der kleinste normale Körper, der $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[5]{2}) \end{eqnarray}$ enthält, ist.
08.01.2011, 15:10	Harty	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} x^5-2 \end{eqnarray}$ wäre doch $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}) \end{eqnarray}$ . Die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}))/\mathbb Q \end{eqnarray}$ ist also auf jeden Fall normal. Aber wie soll man denn zeigen, dass diese Erweiterung die kleinste ist, welche $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2}))/\mathbb Q \end{eqnarray}$ enthält?
08.01.2011, 18:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es ein Polynom kleineren Grades, das $\begin{eqnarray} \sqrt[5]2 \end{eqnarray}$ zur Nullstelle hat ? Was sagt uns das bei unserer Suche nach dem Minimalpolynom ?
09.01.2011, 11:55	Harty	Auf diesen Beitrag antworten »
Über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x^5-2 \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \sqrt[5]2 \end{eqnarray}$ , da es $\begin{eqnarray} \sqrt[5]2 \end{eqnarray}$ als Nullstelle hat, normiert und irreduzibel ist (Eisenstein p=2). Aber was sagt mir das über die kleinstmögliche Erweiterung aus?
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09.01.2011, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition: Eine algebraische Körpererweiterung L/K heißt "normal" genau dann wenn jedes irreduzible Polynom aus K[X], welches in L eine Nullstelle besitzt, über L vollständig in Linearfaktoren zerfällt. $\begin{eqnarray} x^5-2 \end{eqnarray}$ hat eine Nullstelle in L, zerfällt also vollständig über L.
09.01.2011, 14:23	Harty	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, damit hätte wir alles in allem gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}))/\mathbb Q \end{eqnarray}$ normal ist und das $\begin{eqnarray} x^5-2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}) \end{eqnarray}$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Reicht das schon um sagen zu können, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}))/\mathbb Q \end{eqnarray}$ die kleinste normale Erweiterung ist, die $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ enthält? Das ist ja eigentlich der einzige Punkte der noch fehlt, damit wir sagen können, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2},e^{2\pi i/5)}))/\mathbb Q \end{eqnarray}$ der normale Abschluss von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[5]{2})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ ist.
09.01.2011, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gäbe es eine kleinere normale Hülle, müsste das Minimalpolynom darin zerfallen. Anders gesagt, es müsste ein kleineres Minimalpolynom geben.
09.01.2011, 14:33	Harty	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke!

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