Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis

06.01.2011, 17:10

Dani900201

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Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis

Meine Frage:
Gegeben seien die Spaltenmatrizen
a= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
b= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
c= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
d= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
e= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Zeigen Sie, dass {a,b,c,d} eine Basis des \mathbb R 4*1 bilden und geben sie die Koordinaten von e bzgl. der Basis an.

Meine Ideen:
Ich bitte euch um Hilfe! Vielen Dank.
Hab nicht einmal einen Lösungsansatz. unglücklich

unglücklich

06.01.2011, 17:21

dupla

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latex benutzen..

als tipp: im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ bilden 4 linear unabhängige vektoren bereits eine basis, also lineare unabhängigkeit überprüfen(Gauß...)

um einen Vektor in koordinaten bezüglich einer basis darzustellen, ist nur das einfache lösen eines inhomogenen LGS (mit entsprechender rechten seite e) nötig(ebenfalls Gauß..

06.01.2011, 17:54

Dani90

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(1) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ +2 $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = 0
(2)2 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0
(3) 3 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 0
(4) 4 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = 0

-> aus (2) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0
-> aus (2) in (3) $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 0
und dann???

bleibt noch - $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = 0
und
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = 0

.....

06.01.2011, 18:07

Dani90

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und dann???? verwirrt

verwirrt

06.01.2011, 18:19

lgrizu

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Du hast noch zwei Unbekannte und die beiden Gleichungen 1) und 4) übrig, sollte man doch lösen können....

06.01.2011, 18:42

Dani90

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$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ = 0
$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = 0

d.h. lin. unabhängig!

und dann?

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06.01.2011, 18:47

lgrizu

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Und nun stellst du den Vektor e als Lineakombi von a,b,c,d dar.

07.01.2011, 10:55

Dani90

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Kannst du mir verraten wie das geht?
Hat das etwas mit der Linearen Hülle zu tun?

07.01.2011, 12:10

lgrizu

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Du wirst doch einen Vektor als Linearkombination einer Basis darstellen können....

Zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \vec{a} +\alpha_2 \vec{b} +\alpha_3 \vec{c} +\alpha_4 \vec{d} =\vec{e} \end{eqnarray*}$ , die Lösung ist der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

07.01.2011, 12:41

Dani90

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Sorry, aber ich wäre hier nicht im Forum wenn ich das alles wüsste...
und ich weiß leider gar nicht was mit Basis und Linearkombination gemeint ist.

2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 1* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???

Bildet dann {a,b,c,d} eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R{4*1} \end{eqnarray*}$ ???

07.01.2011, 12:45

lgrizu

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Ja, a,b,c,d bildet eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , du hast die Vektoren doch auf lineare Unabhängigkeit geprüft, n linear unabhängige Vektoren eines n-dimensionalen Raums bilden eine Basis des Raums.

Du hast auch richtig gerechnet, wie lautet nun der Koordinatenvektor von e bezügleich der Basis {a,b,c,d} ?

07.01.2011, 13:35

Dani90

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Das ist doch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder? Ich dachte das wären die Koordinaten von bzgl. der Basis.

07.01.2011, 13:39

lgrizu

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Nein, lies noch mal einen meiner Beiträge:

Zitat:

Original von lgrizu
Zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \vec{a} +\alpha_2 \vec{b} +\alpha_3 \vec{c} +\alpha_4 \vec{d} =\vec{e} \end{eqnarray*}$ , die Lösung ist der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

07.01.2011, 13:46

Dani90

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steh total auf dem schlauch...

was hab ich denn da dann ausgerechnet???

07.01.2011, 13:48

lgrizu

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Zitat:

Original von Dani90
2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 1* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???

Hier hast du doch richtig gerechnet.

Welche Koordinaten hat nun also e bezüglich der Basis {a,b,c,d} ?

Benutze dazu:

Zitat:

Original von lgrizu

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \vec{a} +\alpha_2 \vec{b} +\alpha_3 \vec{c} +\alpha_4 \vec{d} =\vec{e} \end{eqnarray*}$ , die Lösung ist der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Welches sind deine alphas?

07.01.2011, 14:01

Dani90

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ich hab keinen plan traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

07.01.2011, 14:04

lgrizu

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Du hast doch hier richtig gerechnet:

Zitat:

Original von Dani90
2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 1* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???

Nun ist $\begin{eqnarray*} \alpha_1=2,~\alpha_2=(-1), ~\alpha_3=1,~ \alpha_4=2 \end{eqnarray*}$ , der Koordinatenvektor ist also welcher?

07.01.2011, 14:07

Dani90

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das ist ja e.
aber der war doch eh gegeben....

07.01.2011, 14:12

lgrizu

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unglücklich

Das kann doch nicht sein, ich habe dir die alphas genannt, habe dir gesagt, wie du diese in den Koordinatenvektor einzutragen hast und du meinst immer noch, der Koordinatenvektor von e bezüglich der Basis {a,b,c,d} sei e selbst...?!

Jetzt konzentrier dich mal, du bist auf einer Hochschule, da sollte man doch erwarten können, dass, wenn man dir dieses vorgibt:

Zitat:

Original von lgrizu
ist der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} \alpha_1=2,~\alpha_2=(-1), ~\alpha_3=1,~ \alpha_4=2 \end{eqnarray*}$

Du das dann einfach stumpf einsetzen kannst.

07.01.2011, 14:27

Dani90

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 14:34

lgrizu

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Nun ist richtig.

07.01.2011, 14:37

Dani90

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aber das doch trotzdem e!
Das wurde in der angabe gegeben:

e= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 14:43

lgrizu

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Okay, ich hatte die Aufgabenstellung aus den Augen verloren, der Fehler ist bereits früher, ich dachte, es wäre e=(1,4,5,12).

Noch mal von Anfang, du sollst den Vektor e=(2,-1,1,2) als Linearkombination der Vektoren a,b,c,d darstellen, also das LGS lösen:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 \vec{a}+ \alpha_2 \vec{b}+ \alpha_3 \vec{c}+ \alpha_4 \vec{d}=\vec{e} \end{eqnarray*}$ .

Nun setze die Vektoren mal ein und löse auf, der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der gesuchte Koordinatenvektor.

Zitat:

2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 1* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 2* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier hast du folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} A \cdot e \end{eqnarray*}$ , wobei A die M_atrix ist, die als Einträge die Vektoren a,b,c,d hat.

07.01.2011, 15:01

Dani90

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Dann habe ich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ +2 $\begin{eqnarray*} \alpha_{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \alpha_{3} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha_{4} \end{eqnarray*}$ =2
2 $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ =-1
3 $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha_{2} \end{eqnarray*}$ =1
4 $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \alpha_{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha_{3} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha_{4} \end{eqnarray*}$ =2
->
$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ =-1/2
$\begin{eqnarray*} \alpha_{2} \end{eqnarray*}$ =5/2
$\begin{eqnarray*} \alpha_{3} \end{eqnarray*}$ =9/2
$\begin{eqnarray*} \alpha_{4} \end{eqnarray*}$ =2

-> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1/2 \\ 5/2 \\ 9/2\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 15:05

lgrizu

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Freude

, ist richtig.

07.01.2011, 15:17

Dani90

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juhuuuu jetzt ergibt es einen sinn smile

smile

dankeschön!

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