Beweise zu (m,n)-Matrizeneigenschaften

06.01.2011, 17:40

Yoshimitsu

Beweise zu (m,n)-Matrizeneigenschaften

Meine Frage:
Hallo Matheboard :-)

Ich habe Aufgaben, bei denen ich Eigenschaften von (m,n)-Matrizen beweisen soll, z. B. $\begin{eqnarray*} (A+B)^t=A^t+B^t, rg_S(A)=rg_Z(A^t), \end{eqnarray*}$ und ähnlich elementare Sachen

Ferner eine Aufgabe $\begin{eqnarray*} A \cdot B = E_n \Rightarrow B \cdot A = E_n \end{eqnarray*}$ für alle n aus IN und A,B (n,n)-Matrizen

Meine Ideen:
Für gegebene n,m könnte ich die Aufgaben ja problemlos lösen, aber mir fehlt irgendwie der Geistesblitz zum formellen Aufstellen eines Beweises für beliebigdimensionale Matrizen.

Ginge das für den ersten Typ über die Definition $\begin{eqnarray*} (a_{ij})^t=(a_{ji}) \end{eqnarray*}$ , also bspw.
$\begin{eqnarray*} ((a_{ij}+b_{ij})^t = ((a+b)_{ij})^t = ((a+b)_{ji}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (a_{ij})^t+(b_{ij})^t=(a_{ji})+(b_{ji})=((a+b)_{ji}) \end{eqnarray*}$
Oder ist das formell Käse? ;-)

Bei der zweiten Aufgabe läge natürlich wegen "für alle n aus IN" ein Induktionsbeweis nahe, aber ob ich von n-dimensional quadratischen Matrizen auf (n+1)-dimensionale kommen kann ist irgendwie fraglich, weil die Größe der Matrix beim Niederschreiben ja Einfluss auf die Formel hat... da bin ich leider komplett ratlos und für jeden Tipp dankbar.

07.01.2011, 13:15

Reksilat

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RE: Beweise zu (m,n)-Matrizeneigenschaften
Hi Yoshimitsu,

Also Dein Beweis ist insofern "formell Käse", als dass $\begin{eqnarray*} (a+b)_{ij} \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist. Was soll das sein? Was ist denn überhaupt a? verwirrt

Betrachte einfach jeweils den Eintrag an der Stelle (i,j).
Auf der linken Seite ist das eben der Eintrag, der bei A+B an der Stelle (j,i) steht, also ...
Auf der rechten Seite ist das...
Wirklich viel kann man dazu eigentlich nicht schreiben.

Beim zweiten Teil sehe ich nicht, wie man das elementar machen sollte. Auch Induktion bietet sich hier nicht an, da man keine Informationen über irgendwelche Teilmatrizen hat.
Da solltest Du schauen, ob Du womöglich passenden Zitate in Deinem Hefter findest.

Gruß,
Reksilat.

08.01.2011, 11:37

Yoshimitsu

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Hallo Reksilat,

ja, genau das war die Frage mit dem $\begin{eqnarray*} (a+b)_{ij} \end{eqnarray*}$ - ich habe wohl künstlich versucht, einen Ausdrück für $\begin{eqnarray*} a_{ij}+b_{ij} \end{eqnarray*}$ zu erzwingen, weil es irgendwie so falsch auf dem Blatt aussieht, das einfach so hinzuschreiben (da habe ich immer Angst, dass dann so etwas dasteht wie "nicht einfach umformen und hoffen, dass das Ergebnis stimmt" - "Käse" ist das Lieblingswort meines Tutors, glaub ich *g*).
Aber natürlich hast du Recht, dass ein a ohne Index genausowenig definiert ist wie eine indizierte Summe aus nicht definierten Elementen ;-)

Zur anderen Aufgabe finde ich leider nichts passendes in meinen Einträgen...
Natürlich ist es so, dass bei invertierbaren (n,n)-Matrizen $\begin{eqnarray*} A \cdot B = E_n \Leftrightarrow B=A^{-1} \Leftrightarrow B \cdot A = E_n \end{eqnarray*}$ gilt, weil ja die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist...
Die Frage ist halt, was mir dieses Wissen beim formellen Beweis hilft - zudem, dass in der Voraussetzung nur gegeben ist, dass A und B (n,n)-Matrizen sind ohne explizit über die Invertierbarkeit zu sprechen... oder ergibt sich die automatisch daraus, dass $\begin{eqnarray*} A \cdot B = E_n \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Ich grübele gerade über einer Lösung in dieser Richtung, da exzessives Index-Jonglieren aus schon genannten Gründen unwahrscheinlich klingt...

08.01.2011, 16:33

Reksilat

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Wenn man in den Gruppenaxiomen nur Rechtsneutrales und Rechtsinverses fordert, kann man mit ein paar Schritten auch zeigen, dass jedes Rechtsinverse auch immer ein Linksinverses ist.
Wenn man das hier analog umsetzen möchte (Invertierbare Matrizen bilden ja mit der Multiplikation eine Gruppe), benötigt man aber, dass es ein $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} BC=E_n \end{eqnarray*}$ gibt. Die Frage ist, ob das bei Dir gewährleistet ist. verwirrt

Ich sehe jetzt leider nicht genau, auf welchen Weg die Aufgabe hinauslaufen soll, da ich ja Eure Vorlesung nicht kenne. Tut mir leid. Ich melde mich, wenn mir noch was einfällt.

Gruß,
Reksilat.

09.01.2011, 19:16

Ibn Batuta

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Wir haben wohl dasselbe Blatt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (A+B)^t \end{eqnarray*}$ habe ich wie folgt gelöst.

Sei $\begin{eqnarray*} A=a_{ij} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=b_{jk} \end{eqnarray*}$ . Direktes Nachrechnen: $\begin{eqnarray*} (a_{ij}+b_{jk})^t=(a_{ji}+b_{kj})=A^T+B^T \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nicht, was ich groß bei der Aufgabe hinschreiben soll:

$\begin{eqnarray*} \text{rg}_z(A)=\text{rg}_s(A^t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{rg}_s(A)=\text{rg}_z(A^t) \end{eqnarray*}$

verwirrt

Ibn Batuta

09.01.2011, 19:20

Reksilat

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Du kannst schreiben, dass die Spalten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau die Zeilen von $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ sind – damit müssen die Ränge ja gleich sein. Ich wüsste auch nicht, was man dazu noch sagen soll. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

09.01.2011, 19:42

Ibn Batuta

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Dann bin ich ja auch erleichtert, dass du es auch so siehst, Reksilat. smile

Ibn Batuta

10.01.2011, 08:41

Yoshimitsu

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Na, wenigstens sind wir da alle derselben Meinung Augenzwinkern

Hast du einen Vorschlag zu der Sache mit den Einheitsmatrizen, Batuta?

10.01.2011, 13:43

Ibn Batuta

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Du meinst die Aufgabe 4? Dafür habe ich mal einen eigenen Thread eröffnet und meine Gedanken dort mal niedergeschrieben....

Ibn Batuta

10.01.2011, 14:19

Reksilat

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@Ibn Batuta:
Dass wir hier auch über diese Aufgabe schon geredet haben ist Dir entgangen oder egal?

Ich gebe zu, dass es zwischen den anderen Teilaufgabe etwas untergeht, aber immerhin wurde schon ein wenig darüber geschrieben.

Ich kopiere den anderen Thread mal hier rein:

Zitat:

Original von Ibn Batuta:
Hi,

ich habe mal wieder eine Aufgabe, die eigentlich sonnenklar ist und wo ich absolut nicht weiß, was ich da hinschreiben könnte. Befürchte aber, dass meine pingelige Tutorin wieder mir 0 Punkte gibt, wenn ich es nicht hinschreibe, wie sie es auf ihrer Lösung vom Prof. vorgefertigt kriegt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Elementen aus einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray*} A\cdot B = E_n \Rightarrow B\cdot A = E_n \end{eqnarray*}$

___________

Ich hätte nun folgendes hingeschrieben.

Da aus $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix folgt, dass die beiden Matrizen zueinander invers sind. Also sei $\begin{eqnarray*} A=B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B = B^{-1}\cdot B = B\cdot B^{-1} = B\cdot A = E_n \end{eqnarray*}$

Analog gilt es, wenn ich $\begin{eqnarray*} B = A^{-1} \end{eqnarray*}$ setze. Aber ich befürchte das bringt mir wieder satte 0 Punkte ein. Augenzwinkern

Wie kann ich die Aufgabe lösen? Ideen, Vorschläge?

Die Aufgabe ist schlecht lösbar, wenn man nicht weiß, was genau bei Euch vorausgesetzt ist. Dass Du Deine Tutorin als "pingelig" empfindest, gehört übrigens nicht hierher.

Wenn Du einen Satz hast, der besagt, dass aus $\begin{eqnarray*} AB=E \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} B=A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist, dann zitiere ihn und fertig. Wenn Du Deine Behauptung nicht mit Zitaten belegen kannst, dann wird vielleicht was anderes gefordert sein. Augenzwinkern

Ohne Wissen über Eure Vorlesung ist es einfach schwer, hier ein Urteil zu fällen.

Gruß,
Reksilat.

10.01.2011, 14:30

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Reksilat
@Ibn Batuta:
Dass wir hier auch über diese Aufgabe schon geredet haben ist Dir entgangen oder egal?

Weder noch. Da der Schwerpunkt dieses Threads sich verlagert hat, machte ich einen neuen Thread auf.

Zitat:

Original von Reksilat
Die Aufgabe ist schlecht lösbar, wenn man nicht weiß, was genau bei Euch vorausgesetzt ist. Dass Du Deine Tutorin als "pingelig" empfindest, gehört übrigens nicht hierher.

Und das obwohl ich mich stark zurückgehalten habe. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Reksilat
Wenn Du einen Satz hast, der besagt, dass aus $\begin{eqnarray*} AB=E \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} B=A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist, dann zitiere ihn und fertig. Wenn Du Deine Behauptung nicht mit Zitaten belegen kannst, dann wird vielleicht was anderes gefordert sein. Augenzwinkern

Ohne Wissen über Eure Vorlesung ist es einfach schwer, hier ein Urteil zu fällen.

Gruß,
Reksilat.

Mir fällt es hier auch schwer ein Urteil zu fällen.
Die Vorlesung gibt zu dem Fall nichts her, sodass ich lediglich obige Überlegungen hatte, wie ich das zeigen könnte. Meine Befürchtung ist jedoch, dass das als "0 Punkte" abgestempelt wird.

Ibn Batuta

10.01.2011, 15:13

Reksilat

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Zum Beispiel habe ich das oben dazu geschrieben:

Zitat:

Original von Reksilat
Wenn man in den Gruppenaxiomen nur Rechtsneutrales und Rechtsinverses fordert, kann man mit ein paar Schritten auch zeigen, dass jedes Rechtsinverse auch immer ein Linksinverses ist.
Wenn man das hier analog umsetzen möchte (Invertierbare Matrizen bilden ja mit der Multiplikation eine Gruppe), benötigt man aber, dass es ein $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} BC=E_n \end{eqnarray*}$ gibt. Die Frage ist, ob das bei Dir gewährleistet ist. verwirrt

Ich sehe jetzt leider nicht genau, auf welchen Weg die Aufgabe hinauslaufen soll, da ich ja Eure Vorlesung nicht kenne. Tut mir leid. Ich melde mich, wenn mir noch was einfällt.

Es kann übrigens nicht sein, dass Euer Skript nichts hergibt, denn immerhin taucht bei Dir ja schon eine Inverse auf, und die müsst Ihr ja auch definiert haben.

Wenn Du in Deinem Beweis eine Folgerung verwendest, die Du nicht belegen kannst, dann gibt es natürlich keine Punkte darauf, aber das hat dann nichts mit Pingeligkeit zu tun.

Letztlich würde ich für den Beweis auf die (bezüglich einer festen Basis) zu den Matrizen gehörenden Abbildungen ausweichen. Dann kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bijektiv sein müssen und es somit zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} BC=E \end{eqnarray*}$ .
Der Rest ist dann nicht so schwer.

Gruß,
Reksilat.

PS: Den Schwerpunkt dieses Threads hast Du selbst verlagert. Augenzwinkern

11.01.2011, 16:52

Yoshimitsu

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Das mit den zugehörigen Abbildungen ist ein guter Einfall... ich hab jetzt 2 Funktionen f und g mit den Matrizen als darstellende eingeführt und (mit der Begründung, dass En die Basis der Identität ist) f . g = id gesetzt und daraus sowie aus der Tatsache, dass f dann Iso ist schließlich den Beweis formuliert... Danke für die Hilfe smile

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