[DiffGeo] Schreibweise Metrik

Neue Frage »

Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »
[DiffGeo] Schreibweise Metrik
Hallo Leute!

Bin mittlerweise fast fertig mit meiner Diplomarbeit, und ich habe noch nie die "Differential-Schreibweise" für Metriken verstanden. Ein Beispiel:

Die Heisenberggruppe wird identifiziert mit , wobei .

Ich habe immer gedacht, damit ist gemeint, dass in Matrixform dadurch gegeben ist:



Habe ich damit Recht?

Cordovan
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ausdruck lässt sich in der Tat nicht auf Matrixform bringen. Es handelt sich dabei also nicht um eine üblich Metrik, die man durch eine symmetrischen Matrix ausdrücken kann. Zu der Differentialschreibweise bei Metriken, die du nicht verstanden hast, folgendes:

Wenn man z.B. die Erdoberfläche auf eine Ebene "abwickelt" wie bei einem Atlas, dann hat man anstelle der Koordinaten x,y als neue Koordinaten den Breiten- und Längengrad . Wenn man damit die Entfernung von Moskau nach Berlin mit den Koordinaten und berechnen will, dann darf man aber nicht den üblichen Pythagoras benutzen, also

__________(1)

Bei dieser Rechnung würde nämlich die Verzerrung der Kugelfläche nicht berücksichtigt. Um diese Verzerrung doch zu berücksichtigen, muss man anstelle der Einheitsmatrix in (1) eine symmetrische Matrix G einführen, die man als Metrik bezeichnet. Diese Metrik "korrigiert" die Verzerrung und könnte als "Verzerrungsmatrix" bezeichnet werden. Weil die Verzerrung auf einer gekrümmten Fläche an jedem Punkt anders ist, ist auch die Metrik in jedem Punkt verschieden. Anstelle des "Differenzvektors" aus (1) verwendet man dann den differentiell kleine Vektor . Damit nimmt (1) im Falle gekrümmter Flächen folgende Form an

__________(1)

Das ist also nichts anderes als eine Verallgemeinerung des Pythagoras im "differentiell Kleinen" mit der "Verzerrungsmatrix" G.
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ist das aber nicht genau das, was ich gemacht habe?

Du schreibst doch den Abstand ebenfalls als Vektor * 1. Fundamentalform * Vektor. Warum lässt sich nicht auf Matrixform bringen? Was bedeutet dann dieser Ausdruck, wenn er nicht das bedeutet, was du unten geschrieben hast?

Danke schonmal,

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum lässt sich nicht auf Matrixform bringen?


Ich denke mal weil es keine Bilinearform ist. Es stellt sich mir aber auch gleich die Frage, was die rechte Seite von

Zitat:


überhaupt bedeuten soll? verwirrt So eine Summe von 1- und 2-Tensoren kommt mir ein bisschen komisch vor...

Habe auch mal kurz in ein Buch, welches die Heisberggruppe behandelt, reingeschaut, konnte da aber nirgendwo eine solche "Metrik" finden... Den letzten (geklammerten) Term habe ich als



wobei H(x) soviel ich verstehe durch die beiden nicht kommutierenden Vektorfelder aufgespannt wird, wiedergefunden...

Wo wurde das denn definiert? Wäre das vielleicht öffentlich zugänglich?

Gruss Wink
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ja, vielleicht liegt mein Problem in der mangelnden Kenntnis von Tensorrechnung. Aber wenn ich ausmultipliziere kann ich (zumindest formal) schreiben



Zitat:
Wo wurde das denn definiert? Wäre das vielleicht öffentlich zugänglich?

Ja, es geht um ein Paper von Benoît Daniel und Laurent Hauswirth aus 2007, zu finden hier: DH. Die Definition findet sich auf Seite 5.

Danke für die Hilfe!
Cordovan
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann mir auch jemand mit der (augenscheinlich) einfacheren Aufgabe helfen, wieso mit der Abbildung
zu einer Riemannschen Faserung wird? Glattheit und Surjektivität sind klar, aber wieso ist das eine Isometrie?

Cordovan
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Faserung kann ich dir zwar nicht helfen, aber in deinem ersten Post hast du ^2 vergessen... -.-'

Also

und nicht

Zitat:


Wenn du das Quadrat noch reintust (wie im Paper), dann macht der Ausdruck schon Sinn. Augenzwinkern


Gruss Wink
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, du hast natürlich recht! Sonst wäre meine Klammer auch überflüssig Freude

Irgendwie komme ich weder mit dem Ausdruck, noch mit der Faserung weiter. Ist zum verzweifeln.

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rate einfach mal drauf los, vielleicht hilft's dir ja. Augenzwinkern

Es scheint mir so, dass es drei (kanonische) Vektorfelder gibt, welche an jedem Ort eine Basis bilden und so dass



und dabei ist der von den ersten beiden Vektoren aufgespannte ("horizontale"?) Teilraum des Tangetialraumes genau .
Damit hätte man



und gleiches für .

Wird vielleicht V_1 auf V_1 abgebildet und gleiches für V_2 oder so?

Was müsste denn hier überhaupt eine Isometrie sein (hab keine Ahnung was eine Riemannsche Faserung ist)?

Eine Isometrie eines zweidimensionalen in einen dreidimensionalen Raum kann es natürlich nicht geben.

Nachtrag: irgendwie macht das von mir geschriebene nicht so wirklich Sinn. Darf also ruhig ignoriert werden! Hammer
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Behauptung mit der Lie-Klammer ist auf jeden Fall richtig. Genau genommen ist das schon eine Charakterisierung der Heisenberggruppe - wenn dies gilt, und der Basisraum R^3 ist, handelt es sich automatisch um die Heisenberggruppe.

Zum Thema Isometrie: eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten heißt Isometrie, sofern
für alle Vektorfelder gilt.

Nun heißt eine Abbildung Riemannsche Faserung, sofern eine glatte Submersion ist, die auf den Horizontalraum eingeschränkt isometrisch ist.

In diesem Fall ist also die Projektion auf die Ebene. Der Bildraum ist (mit Standardmetrik?). Da linear ist, sollte sein für alle (täusche ich mich da?), so dass die Bedingung lautet:



Und jetzt kriegt man große Augen: die Metrik auf Nil_3 soll überall gleich der Standardmetrik (auf die ersten beiden Komponenten angewendet) sein? Das kommt mir doch sehr komisch vor. Vielleicht stimmt eine der Definitionen, die ich verwende, nicht... Oder ich übersehe etwas anderes. Jedenfalls mit meiner Matrix-Interpretation von passt das endgültig nicht mehr.

Danke für die bisherige Hilfe!
Cordovan
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Die im Paper angegebenen Vektoren bilden jedenfalls bezüglich g eine ONB in jedem Punkt von Nil:



Soweit ich weiß ist doch Nil eine homogene Mannigfaltigkeit. Sollte nicht die Linkstranslation eine Isometrie sein (ich glaube, g ist linksinvariant)? Irgendwie kriege ich die Rechnung auch nicht hin.

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Definitionen.

Es ist tatsächlich ein bisschen komisch; wenn man einfach naiv einsetzt, kommt man jedenfalls nicht drauf, dass das eine Isometrie sein sollte.

Aber ich habe in dem Buch "An Introduction to the Heisberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem" etwas von exponentiellen Koordinaten gelesen und damit scheint das irgendwie schon eher zusammen zu kommen (habe allerdings das Buch nur sehr kurz überflogen).
Vielleicht würde es ja helfen, wenn du da mal reinschaust?

Was ich meine, ist gleich am Anfang des zweiten Kapitels, wo die Heisenberggruppe eingeführt wird.

Leider ist mein Wissen hier ziemlich begrenzt.

Wink
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ja, dieses Buch benutze ich auch. Ich verstehe auch den Koordinatenwechsel, den die dort ausführen. Im Prinzip betrachten sie folgende Transformation: .

Wenn ich die Metrik richtig lese (auch hier bin ich mir nicht sicher!), führt das zu

. Eine ONB des Tangentialraums habe ich mir mit ausgedacht, komme aber trotzdem auf keinen grünen Zweig. Die Linksmultiplikation ist definiert durch



Das müsste doch eine Isometrie sein. Aber auch das sehe ich nicht.

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die im Paper angegebenen Vektoren bilden jedenfalls bezüglich g eine ONB in jedem Punkt von Nil:



Meinst du auf Seite 13 die Vektorfelder von Formel (2.3)? Also die X_i?

Wenn ja, dann sollte es doch nun klappen:

Denn wir haben

Und da die drei Vektoren an jedem Punkt eine ONB sind, haben wir auch .

Ausserdem ist:



Aus der Linearität folgt dann auch, dass
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Bin heute Vormittag auch genau darauf gekommen! Mir fiel es wie Schuppen aus den Haaren ( Augenzwinkern ). Wirklich einfach, wie ich anfangs gehofft hatte.

Im Moment sitze ich an der Linkstranslation und hoffe, dass die im Endeffekt genauso einfach wird. Magst du da auch mal schauen...?

Cordovan

Edit: ich hab gedacht ich schreib schonmal, was ich gerechnet hab:

.

Dann ist
konstant. Es ist , , ...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die im Paper angegebenen Vektoren bilden jedenfalls bezüglich g eine ONB in jedem Punkt von Nil:



Auch hier kann man mit der Linearität von g argumentieren, da die Vektoren X_i linksinvariant sind.

Wir haben ja:

Also
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Moment - bei E_1 und E_3 ist es klar, aber gilt nicht

?

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dann reden wir über verschiedene Vektorfelder. Ich meinte



Mit denen sollte alles klappen. smile
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

OK, Danke nochmal für die viele Hilfe!

Cordovan
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »