Numerik - eine simple Aufgabe zur Berechnung absoluter und relativer Fehler

08.01.2011, 12:17	Numerik-Anfänger	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik - eine simple Aufgabe zur Berechnung absoluter und relativer Fehler Meine Frage: Hallo sehr geehrte Mathe-Freunde, ich bin leider ein Neuling was Nummerik angeht und stehe vor einer wahrscheinlich sehr simplen Aufgabe. Ich habe allerdings keinen Plan, wie ich vorgehen soll. Aufgabenstellung:"Um welchen Faktor ändern sich die absoluten bzw. relativen Fehler bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} y=x \cdot \sqrt{x^{2}+5} \end{eqnarray}$ für x=1 und x=10" Ich weiß einfach nicht, wie ich das berechnen soll. Meine Ideen: ich habe zwei Formeln gefunden, die wahrscheinlich damit zusammenhängen. Aber ich weiß nicht, wie ich die anwenden soll. Bitte um Hilfe! $\begin{eqnarray} e(\vec{x}) = \vec{x} -x \end{eqnarray}$ <-- absoluter Fehler $\begin{eqnarray} d(\vec{x}) = \frac{e(\vec{x})}{x} \end{eqnarray}$ <-- relativer Fehler
09.01.2011, 01:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So simpel ist die Aufgabe nicht (man sieht dies offenbar auch an der Anzahl der bisherigen Antworten). Welche Kenntnisse in der Fehlerrechnung werden bei dir vorausgesetzt? Ohne Anwendung der Differentialrechnung können sich als Resultate nur mittlere Fehler ergeben. Der relativen Fehler an der Stelle x = 1 beispielsweise ist der Quotient der Abweichung der Funktionswerte zwischen der Stelle 1 und einer nahe an 1 liegenden Stelle $\begin{eqnarray} 1 + \Delta x \end{eqnarray}$ und dem Funktionswert 1 an der Stelle 1, wobei $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ die Abweichung (Fehler) vom Sollwert 1 darstellt. Im Grenzfall kann $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ sehr klein gegen 1 (im Vergleich zu 1) werden. In der Praxis wird für den Fehler in x-Richtung die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ verwendet. Der Übersichtlichkeit halber setze ich hierfür im Folgenden die Bezeichnung $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f_r(x) = \frac{f(x+h) - f(x)} {f(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_r(x) = \frac{(x+h) \sqrt{(x+h)^2+5} - x \sqrt{x^2+5}} {x \sqrt{x^2+5}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_r(1) = \frac{(1+h) \sqrt{(1+h)^2+5} - \sqrt 6} {\sqrt 6} \end{eqnarray}$ Der Zähler alleine stellt bereits den absoluten Fehler dar. Man kann nun den Zähler noch weiter bearbeiten. Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße x auf das Ergebnis f(x) kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden. Bei genügend kleinem h wird die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen. Wir erhalten in der Folge eine Näherungslösung. Deshalb werden alle Potenzen von h, deren Exponenten größer gleich 2 sind, vernachlässigt, weil die Potenzen höherer Ordnung der Abweichung h noch kleiner werden. Die Wurzel wird daher zu $\begin{eqnarray} \sqrt{6+2h} \end{eqnarray}$ und den Faktor (1 + h) ziehen wir nun ebenfalls dort hinein und multiplizieren dort aus, wieder unter Berücksichtigung, dass die höheren Potenzen von h Null gesetzt werden. Die führt schließlich zu $\begin{eqnarray} f_r(1) = \frac{\sqrt{6 + 14h} - \sqrt 6} {\sqrt 6} \end{eqnarray}$ Um hier zu Zahlenwerten zu gelangen, muss nun für h eine Größe in der Dimension der Fehlerabweichung von x eingesetzt werden, welche im Vergleich zu x = 1 klein sein muss. Bei h = 0,1 wird $\begin{eqnarray} f_r(1) = \frac{0.271}{2.45} = 1.106 \cdot 0.1 (= 1.106 \cdot h) \end{eqnarray}$ Der Zähler gibt den absoluten Fehler an. Der Quotient 0,1106 ist in das Verhältnis zu h = 0,1 zu setzen, damit sieht man, dass sich ein Fehler von 0,1 bei einem x-Wert von 1 mit dem Faktor 1,106 bei dem entsprechenden Funktionswert fortpflanzt. Das entspricht dort einem Fehler von rund 11%. Zum Vergleich - wenn auf die Abkürzung bei höheren Potenzen von h verzichtet wird - ergibt sich $\begin{eqnarray} f_r(1) = \frac{0.292}{2.45} = 0.112 = 1.12 \cdot 0.1 (= 1.12 \cdot h) \end{eqnarray}$ , was einer Fehlerdifferenz von rund 12% entspricht. Bei einfachen Funktionen bzw. Zahlenwerten wird man eher auf die Abkürzung verzichten und die x-Abweichung direkt einsetzen. Bei komplexeren Angaben macht diese aber durchaus Sinn. ________________________ Mittels der Differentialrechnung kann man den Fehlerfortpflanzungsfaktor für kleine h allerdings besser bestimmen. Er berechnet dann keinen mittlerer Fehler mehr, sondern einen exakten momentanen Fehler. Der Vorteil ist hier, dass du von vornherein für h keinen bestimmten Wert einsetzen musst, denn der Faktor ergibt sich davon unabhängig. Dazu formen wir um: $\begin{eqnarray} f_r(x) = \frac{f(x+h) - f(x)} h \cdot \frac h {f(x)} \end{eqnarray}$ und ersetzen den ersten Bruch durch den Differentialquotienten: $\begin{eqnarray} f_r(x) = \frac{f \ '(x)}{f(x)} \cdot h \end{eqnarray}$ ================== $\begin{eqnarray} f_r(x) = \frac{2x^2+5}{\sqrt{x^2+5} \cdot x \cdot \sqrt{x^2+5}} \cdot h = \frac{2x^2+5}{x (x^2+5)} \cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_r(1) = \frac{7}{6} \cdot h = 1.167 h \end{eqnarray}$ Dieses letzte Ergebnis kommt natürlich dem tatsächlichen Einfluss der fehlerbehafteten Eingangsgröße x auf den Funktionswert f(x) am nächsten. Du hast nun diese Rechnung nochmals, gegebenenfalls für einen anderen Wert von h (beispielsweise h = 0,05) und dann auch für die Stelle x = 10 (nimm dort für h = 0,1) durchzuführen. In allen Berechnungsfällen bei x = 10 solltest du einen Faktor zwischen 0,193 und 0,196 erhalten. Es ist - wenn man sich den Verlauf des Graphen ansieht - auch klar, dass dieser Faktor kleiner sein muss als bei x = 1, weil dier Funktionswert bei x = 10 wesentlich größer ist als bei x = 1. mY+
11.01.2011, 18:44	Numerik-Anfänger	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank mYthos, erster Lösungsweg erschließt sich mir zwar nicht ganz, aber dafür der zweite. Grüße

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