Kreisbögen beim Mond

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Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisbögen beim Mond
Edit (Gualtiero): @Isa*
Du hast - sicher unbeabsichtigt - mit dem Abschreiben des Aufgabentextes das Urheberrecht verletzt, das bei den Erstellern dieser Aufgabe liegt. Daher stelle ich statt des Aufgabentextes nur die Nr. der Aufgabe und den Link zu dem PDF-Dokument herein. Die Aufgabe kann aber wie üblich hier besprochen werden.


Meine Frage:
Ich brauch Hilfe bei einer Frage und zwar

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um Nr. 3 b)
aus den
Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Jahrgangsstufe 11 am 16.02.2011.

Meine Ideen:
Ich glaube dafür muss man doch erstmal einen Winkel berechnen oder?? Aber woher soll der kommen?? Und ich versteh nicht was die Schattengrenze ist und was mit ihr gemient ist!!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Zur Kenntnis:

*Isa rechnet hier mit uns Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Jahrgangsstufe 11 am 16.02.2011.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Vorerst geschlossen, Begründung

Edit: Wieder offen.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
@Isa*
Setze diese Überlegungen fort:
Ein Durchmesser geht immer durch den Mittelpunkt eines Kreises.
Die zwei Endpunkte und der Mittelpunkt des Kreises s (Schattenbegrenzung) bilden ein besonderes Dreieck, in dem Du leicht die beiden fehlenden Seiten berechnen und auch den benötigten Winkel erkennen kannst.
Damit kannst Du in weiterer Folge auch die geforderten Flächen berechnen.

[attach]17497[/attach]
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Der Winkel bei M 90° (Satz des Thales)

es ist ein gleichschenkliges rechtwinkeliges Dreieck.

Iche kenn die Formeln (bzw. Regeln) um die Seiten eines Dreiecks insbesondere eines rechtwinkeligem Dreieck zu berechnen aber ich hbe doch außer den Winkel keine Angaben oder brauche ich keine???
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Die Höhe des Dreiecks ist doch der Radius des Mondes und die eine Seite der DUrchmesser und die anderen beiden Seiten der Radius des anderen Kreises. Diese Informationen sollten mir irgentwie weiterhelfen aber ich komme nicht drauf wie.
 
 
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Ach und ich hb noch gesehen das die WInkel an den Endpunkten 45° hben (logischerweise)
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Gut, damit bist Du schon ein Stück weiter.

In der Aufgabe ist das nicht erwähnt, aber rechne mit dem Radius der Mondscheibe wie mit einer Konstanten, kannst sie ja r nennen.
Berechne damit mal den Radius des Schattenkreises.
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Damit ist der Umfang

u= \frac{2\pi r}{\sin(45) }

und der Flächeninhalt

A= \frac{\pi r^{2} }{\sin(45) ^{2} ) }
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Oh ich mein



und

Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Richtig, den Umfang benötigen wir hier aber nicht, egal.

Jetzt guck wieder auf die Skizze, wir wollen ja die beleuchtete Fläche berechnen.
Es ist leicht zu sehen, dass diese genau um die Kreissegmentsfläche (B) größer ist als die halbe Mondfläche.

Es wäre jetzt diese Segmentsfläche zu berechnen. Hast Du eine Idee?
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
JA und zwar müsste man doch A von Kreisausschnitt - A von Dreieck nehmen oder??

das wäre dann




aber ich hb in der Formelsammlung eine Formel zum berechnen gefunden die r beriets ersetzt so aussieht:

Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Lass mal die Formelsammlung, wir wollen diese Formel selbst herleiten. Dabei lernst Du mehr.

Die Idee ist richtig und auch die Fläche des Viertelkreises. Aber die Dreiecksfläche stimmt nicht.
Du hast ja zwei konruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten r.

Wie kann man mit den Katheten die Fläche des zugehörigen Dreiecks berechnen?
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
A=1/2 * r^2 und rs=r/sin(45°) also A= 1/2 * (r/sin45)^2


ich finde den Fehler nicht unglücklich
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Sorry, die Dreiecksfläche ist eh richtig, mich hat der Ausdruck mit sinus irritiert.

Ich fass mal zusammen:

Zu dieser Fläche addiere jetzt die halbe Mondfläche, dann haben wir das Beleuchtete. Klammere am Ende r² aus.

Gefragt ist sozusagen das Verhältnis von unbeleuchteter zu beleuchteter Fläche. Überlege Dir was dazu.

Ich bin dann bis ca. 20h weg.
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
JA, stimmt denn 2*sin45^2 ist 1 und 4*sin45^2 ist 2 hatt ich nicht bemerkt smile

Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Ich hb zwei Ideen die eine wäre vom Gesamtkreisinhalt die beleuchtete Fläche abzuziehen

dann wäre die beleuchtete Fläche r^2 wenn ich diese dann im Verhältnis zur nicht beleuchteten Fläche setze dann hat man ein Verhältnis von ( also für r ungleich 0


meine zweite Idee wäre die Beleuchtete Fläche im Verhältnis zum Gesamtkreis zu stellen und dann wäre das Verhältnis


kann eine der beiden Ideen stimmen???
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
OK, die zweite Möglichkeit ist richtig: Die beleuchtete Fläche wird in Beziehung zur ganzen Monfläche gesetzt.
Es wird aber nach dem Prozentanteil der bel. Fläche zur ganzen gefragt - also wie kannst Du das Ergebnis nach Prozenten umformen?
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Ich weiß es nicht ich hbe versucht folgendes zu Überlegen:

pi * r^2 = 100 %

(pi *r^2) / 2 = 50 %

und

r^2(pi - 1) / 100

aber auf mehr komme ich nicht


ich weiß nicht wie man auf die Prozentzahl der Beleuchteten Fläche kommt
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Die ganze Mondscheibe als 100 % anzunehmen ist mal richtig.

Eigentlich ist es ganz einfach. Rechne mit dem TR dein Ergebnis aus, also: (pi - 1)/ pi.

Das gibt den Anteil der bel. Fläche an, aber bezogen auf 1 als die ganze Mondscheibe.

Wir wollen es aber auf 100 beziehen - was wirst Du also tun?
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Ganz ehrlich?? Mir ist nicht eingefallen das man (pi -1)/ pi einfach ausrechnen kann. Ich glaub entweder bin ich sehr langsam von Verstand oder so viele Stunden Mathe verdrehen mir den Kopf aber ich Tippe eher auf ersteres denn Mathe wird nie langweilig.

Es sind also 68,17% die nicht im Schatten liegen.

smile

Danke!!
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Richtig. Freude
Naja, dass Du wirklich alles sofort erkennst, muss ja nicht sein. Wichtig ist, dass Du Dir die Erkenntnisse aus dieser Aufgabe merkst. Also rechtwinkelige oder gleichschenkelige Dreiecke erkennen, diese halbieren, gleiche Winkel erkennen, Anwendungsmöglichkeiten für Winkelsätze und Pythagoras sehen usw.

Rechne sie am besten nochmal in Ruhe durch.
Isa* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbögen beim Mond
Ja, mach ich!!

smile


Danke!!
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