Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität?

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Ratlos4 Auf diesen Beitrag antworten »
Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität?
Meine Frage:
Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität, und somit dann nicht aus der Additivität ein Vektorhomomorphismus?
Weiß jemand dazu ein gegenbeispiel

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass es bei den natürlichen Zahlen gilt und bei den ganzen und bei den rationalen, aber nicht bei den reellen Zahlen. Mir fällt aber kein konkretes beispiel ein. Nimmt man da pi um das zu zeigen? Ich habe da schon so manches versucht, aber mir fällt nichts ein warum es nicht gilt.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität?
Zitat:
Original von Ratlos4
Meine Frage:
Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität

Sprichst du von der Homogenität eines metrischen Raumes?

Zitat:
Original von Ratlos4
und somit dann nicht aus der Additivität ein Vektorhomomorphismus?

Additivität ist eine Eigenschaft der reellen Zahlen, ein Vektorhomomorphismus ist eine Abbildung, wie soll das eine aus dem anderen folgen?
Ratlos4 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich meine wenn ich eine abbildung f von V nach W habe, und V und W vektorräume sind, dann habe ich f(x+y)=f(x)+f(y) gegeben und meines erachtens folgt daraus wenn wir die Vektorräume über Q, also den rationalen Zahlen haben, dass wir dann einen Homomorphismus haben. Also auch die Homogenität dann erfüllt ist. Richtig?
und jetzt war meine frage wie es in den reellen Zahlen ist. Ich habe nämlich gehört das es dort nicht so ist. Kann mir aber nicht erklären warum????
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay ich verstehe dein Anliegen, muss aber für eine Weile weg.
Vielleicht will sich ja in der zwischenzeit jemand anderer dieses Problems annehmen.
Ratlos4 Auf diesen Beitrag antworten »

okay hoffe ich mal, vielleicht kommst du ja irgendwann auch wieder, trotzdem mal danke
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was gibt es hier, was ich nicht über Zahlen weiß ? verwirrt Könntest du bitte deine Begriffe "Additiviät", "Homogenität" erklären ?
##################################
P.S. : Danke - Nicht mehr nötig - alles klar.

Für Vektorräume heißt eine Abbildung f:V-->W mit f(ax+by)=af(x)+bf(y) Homomorphismus. Daraus folgt aber nicht, dass alle Abbildungen zwischen Vektorräumen Homomorphismen sind.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also sofern ich mich nicht irre, ist es glaube ich so, dass die Exsitenz einer additiven, aber nicht homogenen Abbildung bewiesen ist, aber man sie nicht einfach so angeben kann.

Plausibel wird das Ganze, wenn man sich mal den Beweis "Additiv -> Homogen" für bis anschaut. Da wird immer wieder ausgenutzt, dass man jede ganze Zahl mit Hilfe natürlicher Zahlen und jede rationale Zahlen mit Hilfe ganzer Zahlen darstellen kann. Und zwar nur mit den elementaren Rechenoperationen. Und dass sich die Abbildung mit elementaren Rechenoperationen verträgt, ist ja bzgl. + vorrausgesetzt und lässt sich bzgl * durch vollständige Induktion für zeigen. Deshalb geht der Beweis so durch.

Will man allerdings jede reelle Zahl mit Hilfe rationaler Zahlen darstellen, bedarf es z.b. konvergenter Folgen oder Intervallschachtelungen. Wie sich allerdings Abbildungen angewendet auf konvergente Folgen verhalten, ist nur dann klar, wenn die Abbildung stetig ist. Und das ist ja a priori nicht gegeben.
Ratlos4 Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo, danke für die gute Hilfe, du meintest man könnte das für N mit vollst. Induktion zeigen, kannst du mir das genauer erklären?
karl grill Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum folgt bei den reellen Zahlen die Homogenität nicht aus der Additivität?
Kurz: die reellne Zahlen sind ien Vektorraum ueber den rationalen Zahlen, wir koennen also eine Basis waehlen. Jede rreelle Zahl laesst sich eindeutig als linearkombination von Basiselementen mit rationalen Koeffizienten schreiben. Wir koennen im Prinyip fuer die Basiselemente beliebige Funktionswerte vorschreiben, fuer jede relle Zahl wird dann der Funktionswert als die entsprechende rationale Linearkombination der Funktionswerte der Basiselemente definiert. Auf diese Weise erhaelt man eine additive Funktion, die aber nur dann homogen ist, wenn sie es auf der Basis ist, und da muss ja nur ein einziger Funktionswert falsch sein (bitte um entschuldigung fuer die umstaendliche erklaerung, aber ich war zu faul, dass ich den Formeleditor lerne). Die nicht homogenen Funktionen schauen dann auch ziemlich grauslich aus, wenn man irgendwas wie Beschraenktheit oder Stetigkeit annimmt, folgt sofort die Homogenitaet.
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