Fragen zu schiefsymmetrischen Matrizen [gelöst]

22.11.2006, 15:07	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu schiefsymmetrischen Matrizen [gelöst] Hallo! erstmal nur ne kurze Frage: Die definition sagt ja, dass $\begin{eqnarray} a_{ji} = -a_{ij} \end{eqnarray}$ sein soll. heißt das, dass alle Einträge $\begin{eqnarray} a_{ii} = 0 \end{eqnarray}$ sind? Und weiter: Wie kann ich dann zeigen, dass es keine schiefsymmetrischen matritzen der Form nxn in $\begin{eqnarray} GL_n (\mathbb R ) \end{eqnarray}$ mit n ungerade gibt?
22.11.2006, 17:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Fragen zu schiefsymmetrischen Matrizen Das paßt besser in die Hochschule. * verschoben *
22.11.2006, 17:46	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, sorry, ich war mir nicht so ganz sicher... Aber ich bin immernoch nicht wirklich weitergekommen in der Frage... kann es sein, dass eine solche matrix mit n ungerade zwei gleiche zeilen haben müsste, womit sie nicht invertierbar und damit nicht in GL wäre?
22.11.2006, 20:37	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zusammen. Ich habe es jetzt mal mit vollständiger induktion versucht... naja rausgekommen ist folgendes: Behauptung kennt ihr ja: Es gibt keine schiefsymmetrischen nxn-Matrizen mit n ungerade, die invertierbar sind. I.V.: n= 1 $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist nicht invertierbar. Außerdem: $\begin{eqnarray} det(A) = \sum_{i=1}^1~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} \end{eqnarray}$ I.A.: Behauptung ist wahr für alle ungeraden n I.S.: n ---> n+2 $\begin{eqnarray} det(A) = \sum_{i=1}^n~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} = 0 \end{eqnarray}$ ist wahr nach I.A. zu zeigen: $\begin{eqnarray} det(A) = \sum_{i=1}^{n+2}~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A) = \sum_{i=1}^n~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} + \sum_{i=n+1}^{n+2}~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} \end{eqnarray}$ so, der erste Summand ist ja nach I.A. schon null, aber wie zeige ich das jetzt bei dem zweiten? Bitte helft mir =(
23.11.2006, 10:49	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
mhhhh hat denn niemand ne idee??? Irgendwie muss ich den Term $\begin{eqnarray} \sum_{i=n+1}^{n+2}~{(-1)^{i-1} a_{i1} det (A_{i1})} \end{eqnarray}$ doch so abändern können, dass man sieht, dass er = 0 ist, oder? Ode hab ich mich vorher schon irgendwo verrechnet? Habe die Aufgabe gelöst. Allerdings nicht per Induktion. Für die, dies interessiert: Habe gezeigt, dass sich jede schiefsymmetrische nxn Matrix A mit n ungerade per Zeilentransformation auf eine Matrix A' mit einer Nullzeile bringen lässt. Wenn nun die MAtrix B das Produkt dieser Zeilentransformationen ist dann gilt: $\begin{eqnarray} det(A) = det(A'B) = det(A') det(B) = 0 * det(B) = 0 \Rightarrow det(A) = 0 \end{eqnarray*}$ Also ist A nicht invertierbar und nicht in GLn(R). qed wäre aber trotzdem interessiert, wie der per induktion funktioniert hätte..
23.11.2006, 20:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht etwas schneller, auch ohne Induktion: Für schiefsymmetrische Matrizen ist $\begin{eqnarray} A^T = -A \end{eqnarray}$ , also folgt $\begin{eqnarray} \det(A) = \det(A^T) = \det(-A) \stackrel{!}{=} (-1)^n\cdot \det(A) \end{eqnarray}$ An der Stelle $\begin{eqnarray} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray}$ wird aus jeder Zeile der Faktor $\begin{eqnarray} (-1) \end{eqnarray}$ herausgezogen. Für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \det(A) = -\det(A) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \det(A) = 0 \end{eqnarray}$ .
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