Funktionen, Relationen, Beweise

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hexler Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen, Relationen, Beweise
Hallo,

erstmal Lob an euer Forum. Hat mir beim Umgang mit Relationen sehr gut geholfen.
Ich musste ein paar Aufgaben bearbeiten und würde gern wissen ob die Lösung so richtig ist. Außerdem komm ich beim Beweis durch vollst. Induktion nicht so richtig weiter unglücklich

Also erstmal zu den Aufgaben die ich hab:

1. Aufgabe
Ist die Funkton f: A -> B injektiv, surjektiv, bijektiv? A' und B' angeben sodass f: A' -> B' bijektiv und schließlich noch inverse Funktion bestimmen:

a)
\


surjektiv: ja, da jedem f(x) € B ein x € A zugeordnet ist
injektiv: nein, da zb
bijektiv: nein




b)




surjektiv: nein, da zB kein
injektiv: ja, da
bijektiv: nein
\

bin ich irgendwie wieder aufs gleiche gekommen :/


2. Aufgabe
Untersuchen der Relationen auf reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymetrisch

a)
, , wenn m+n ungerade



reflexiv: nein, da m+m stets gerade
symmetrisch: ja, da m+n = n+m
transitiv: nein, da zB 1R2 UND 2R1 aber nicht 1R1
antisym.: nein, da zB 1R2 UND 2R1 aber

b)
, mRn , wenn mn ungerade

reflexiv: nein, da zB 2*2 = 4 -> gerade
symm.: ja, da m*n = n*m
trans.: ja: m*n ungerade und n*o ungerade
ungerade
ungerade
n ist ungerade, da m*n und n*o auch ungerade -> n² ist ungerade
ungerade

antisym: nein, da zB 3R5 UND 5R3 aber


so ich denke das müsste ja ungefähr stimmen...

Jetzt kommt allerdings der Beweis mit dem ich nich klar komm:

Durch vollst. Induktion soll die Summenformel für bewiesen werden.
Meine ersten Schritte sind folgende:

Behauptung:

Induktionsanfang:
A(1):



Induktionsannahme
Angenommen für ein n gilt die Behauptung ...

Induktionsschluss:
... so gilt auch

... aber ich wüsste nicht wie ich das jetzt so umform, dass der vordere Ausdruck rauskommt :/
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionen, Relationen, Beweise
Zitat:
Original von hexler
b)




surjektiv: nein, da zB kein
injektiv: ja, da
bijektiv: nein
\

bin ich irgendwie wieder aufs gleiche gekommen :/


Bei B' solltest du die 0 noch rausnehmen.


Zitat:
Durch vollst. Induktion soll die Summenformel für bewiesen werden.
Meine ersten Schritte sind folgende:

Behauptung:


Nein, dass ist ja nur statt des Summenzeichens die Pünktchen-Schreibweise. Zunächst brauchst du eine Idee, wie die Summenformel aussieht. Auf der rechten Seite sollte ein Polynom 3-ten Grades in n stehen (d.h. der erste Teil der Aufgabe besteht darin, auf diesen Ausdruck zu kommen).

Das kannst du dann mit Vollständiger Induktion beweisen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text
hexler Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis
Also ich glaube mir war der Begriff Summenformel noch ne ganz klar.
Ich hab mal mein Wissen über die Summenformel erneuert und würde die Behauptung jetzt so wählen...

Die Summe hab ich zusammengefasst in:
.. und in dieser die Summenformel für 1 bis k² und 1 bis k eingesetzt.

Also wäre dann meine Behauptung:



Wird das so richtg?
Wer zu faul is zum scrollen, hier nochmal die Aufgabenstellung:

Beweisen Sie durch vollst. Induktion die Summenformel für
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis
Zitat:
Original von hexler
Also wäre dann meine Behauptung:



Wird das so richtg?


Die Formeln hast du damit gefunden, nur auf der rechten Seite stehen die ohne Summenzeichen. Und beide Polynome rechts lassen sich noch schön zusammenfassen.

Grüße Abakus smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hexler
.. und in dieser die Summenformel für 1 bis k² und 1 bis k eingesetzt.

Also wäre dann meine Behauptung:


Dann setze aber auch wirklich die Formel ein! Die beiden Formeln lauten doch



.

Du hast jetzt aber folgendes gemacht:



.

Du siehst schon, dass das falsch ist oder?

Gruß MSS
hexler Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, Danke smile

War totaler Denkfehler von mir... Die Formel ist ja bereits die Zusammenfassung (und das Summenzeichen ist somit quatsch) Hammer
 
 
hexler Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt komm ich beim Induktionsschluss nicht weiter unglücklich

Meine Zusammengefasste Behauptung sieht folgendermaßen aus:


Was dann auch für n=1 gilt: 2 = 2 w.A.

Im Induktionsschluss muss ich ja jetzt beweisen, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Ich hab mir das so gedacht:


Und das wollte ich nun so lange umwandeln, bis ich wieder auf die Aussage in meiner Behauptung komm, womit dann bewiesen wäre, dass es für alle n gilt.

Aber ich komm nicht weiter...




... und weiter ???
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hexler

Und das wollte ich nun so lange umwandeln, bis ich wieder auf die Aussage in meiner Behauptung komm, womit dann bewiesen wäre, dass es für alle n gilt.

Aber ich komm nicht weiter...




Das solltest du schon richtig ausrechnen (Rechenfehler) unglücklich .

Ansonsten brauchst du eine Art Zielnavigation: du musst wissen, wo du eigentlich hin willst.

Dein Ziel ist:



Grüße Abakus smile
hexler Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals vielen Dank für die Hilfe... Hab die Aufgabe nun gelöst Gott
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