Funktion stetig auf den rationalen Zahlen

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09.01.2011, 17:47	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion stetig auf den rationalen Zahlen Moin Moin in unserer Aufgabe ist zu zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x< \sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \rightarrow 1 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x> \sqrt{2} \end{eqnarray}$ stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß nicht wie ich das machen soll. Eigentlich müsste man das ja entweder mit Epsilon Delta zeigen können, oder aber mit Folgen. Irgendwie weiß ich aber nicht wie ich das machen soll. Ich hab auch mal ne Skizze gemacht und starre da so drauf aber ich weiß nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben. Gruß Martin
09.01.2011, 17:53	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht eigentlich ganz gut mit der $\begin{eqnarray} \epsilon - \delta - \text{Definition} \end{eqnarray}$ der Stetigkeit. Mach dir zunächst einmal klar, warum diese Funktion eigentlich auf $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ stetig ist. Und dann kannst du auch zeigen, dass solche gesuchten $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ existieren.
09.01.2011, 18:12	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa ich glaub genau an diesem klarmachen scheitert es. Aber wenn ich mir Epsilon - Delta mal so angucke, muss ja für epsilon gelten: $\begin{eqnarray} \| f(x) - f(x_0)\| <\epsilon \end{eqnarray}$ wenn für delta gilt: $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ Darf x_0 auch = x sein? Dann wäre es glaub ich einfach, das würde ja heißen, dass man delta einfach <= 1 wählt, dann ist \|x-x_0\| nur kleiner als delta, wenn x = x_0 ist und damit wäre $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| = 0 \end{eqnarray}$ . Kann man das so machen? Gruß Martin
09.01.2011, 18:21	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst die Epsilon-Delta-Definition insgesamt noch nicht ganz verstanden zu haben. Sieh am besten nochmal in deinen Unterlagen oder der Sekundärliteratur deines Vertrauens nach. Danach überlege erst einmal gründlich wo genau das Problem bei dieser Aufgabe eigentlich liegt. Also: "Wo könnte diese Funktion denn unstetig sein?" Bzw. "Was genau wird von mir eigentlich erwartet zu zeigen?"
09.01.2011, 18:33	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh ich dachte ich hätte sie verstanden. Unstetig sein könnte die Funktion ja eigentlich im Punkt 1 oder im Punkt 2. Grundsätzlich will ich ja mit Epsilon, Delta zeigen, dass, wenn ich mein x nur ganz wenig ändere, sich auch mein Funktionswert nur ganz wenig ändert. Ich gebe also ein Epsilon vor, das soll meine Abweichung der Funktionswerte voneinander nach oben begrenzen und muss nun dafür ein delta finden können, so dass, wenn x und x_0 nur um den Wert Delta auseinander liegen, dass dann die Funktionswerte von x und von x_0 nur um maximal Epsilon auseinander liegen. Und da ich das für alle Epsilon > 0 zeigen muss, gebe ich halt kein Epsilon mehr vor sondern finde ein delta, welches in abhängigkeit von Epsilon (meist) die Bedingung erfüllt. Wenn ich das schaffe, dann habe ich gezeigt, dass wenn die x werte nur wenig voneinander abweichen, dann auch die funktionswerte nur wenig voneinander abweichen. Ich kann das schlecht so beschreiben :-D aber bei "normalen" funktionen klappt das auch ganz gut. Nur die Funktionen bisher waren auch eindeutig stetig (man kann sie in einem durchzeichnen etc, so wie in der Schule gelernt ;-)). Ohhhhhhhhhh jetz fällt mir ein was oben schwachsinnig war, wir sprechen ja von den rationalen Zahlen... ich war irgendwie in die ganzen Zahlen abgerutscht... auch bei meiner Skizze.... oh Gott :-D. Wie konnte das passieren? Naja, ich glaub ich überlege noch mal neu und melde mich dann noch mal ;-) Schrecklich peinlich. Sorry
09.01.2011, 18:38	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Als du von "im Punkt 1 oder im Punkt 2" gesprochen hast, war mir irgendwie schon klar, dass du auf einmal in den ganzen Zahlen warst . Kein Problem. Vielleicht klärt das ja schon das Problem.
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09.01.2011, 20:02	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich hab mir noch mal gedanken gemacht aber so richtig komm ich noch nich drauf. Das Problem ist ja, wenn man sich von rechts an Wurzel 2 annähert, ist der Funktionswert immer 1. Wenn man sich von links an Wurzel 2 annähert, ist der Funktionswert immer 0. Wenn ich mir jetzt mal Epsilon Delta angucke und mal ein paar Beispiele mache, dann komm ich zu folgendem: Sei epsilon = 3 dann gibts keine Probleme, weil der Abstand der Funktionswerte maximal 1 ist, da kann man also jedes noch so große Delta nehmen. Erst wenn epsilon <1 wird wirds problematisch. Weil dann muss ich ja Delta sozusagen so klein wählen, dass das x nicht über Wurzel 2 springt. Delta = 2 würde nicht klappen, weil dann für x = 1 - x_0 = 2 der Abstand der beiden 1 ist, also kleiner als Delta, der Funktionswert unterscheidet sich aber um 1 und ist damit größer als epsilon. Delta = 1 klappt auch nicht, weil dann für x = 1,2 und y = 1,8 der Abstand zwar kleiner als Delta ist, der Funktionswert aber wieder einen Abstand von 1 hat. Delta muss ja eigentlich genau so groß sein, wie der Abstand, den Wurzel(2) zwischen den zwei "nächstliegenden" rationalen Zahlen bildet. dann wäre nämlich der Abstand zwischen einer Zahl rechts und einer Zahl links von Wurzel(2) immer größer als Delta und all diese Zahlen würden rausfallen. Das ist aber denke ich nicht richtig, ich weiß nicht wirklich warum aber es ist so ein Gefühl. Der Knackpunkt dürfte bei meinem Platz in den rationalen Zahlen liegen, den Wurzel (2) einnimmt. Also irgend wie hab ich da ne Blockade im Kopf. Gruß Martin
09.01.2011, 20:11	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, die Idee ist richtig. Das hat etwas damit zu tun, dass sich eine rationale Zahl zwar an $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ annähernd lässt. Sie aber niemals diesen Wert annimmt. Also lässt sich immer noch ein Delta finden für das die rationale Zahl unter bzw über $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ bleibt. Das musst du jetzt nur noch formal aufschreiben,
09.01.2011, 20:18	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätt ich nicht gedacht. Aber stimmt, Delta darf ja nicht nur von Epsilon sondern auch von x abhängen. Also müsste dann sein: $\begin{eqnarray} \delta = \| \sqrt{2} - x\| \end{eqnarray}$ Weil dann wäre ja Delta sozusagen der Abstand von x und Wurzel zwei, und alle x_0 welche einen kleineren Abstand zu x haben als delta, die müssen ja von x aus gesehen "diesseits" von Wurzel 2 liegen. Damit ist f(x) - f(x_0) = 0 und damit kleiner als Epsilon.
09.01.2011, 20:23	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap. edit: Allerdings musst du noch zeigen, dass dein so gewähltes $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ ist.
10.01.2011, 21:48	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch ganz einfach so, weil zwischen x und wurzel2 noch ein paar zahlen liegen. Angenommen da wären keine, dann wäre ja x = wurzel 2 also wurzel 2 eine rationale Zahl, dann werde ich entweder berühmt für den Beweis oder aber die Annahme, dass da nix mehr zwischen ist, ist falsch. Also ist da was zwischen, also gibt es auch einen Abstand, also nimmt delta den ein ohne 0 zu sein.

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