Identitätssatz der Polynome

10.01.2011, 13:56

PeterSchmitt

Identitätssatz der Polynome

Hallo,
ich habe eine Frage zum Beweis der Identitätssatz der Polynome, welcher besagt, dass zwei Polynome

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_{n}x^n + .... + a_1 x + a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(x) = b_{n}x^n + .... + b_1 x + b_0 \end{eqnarray*}$

gleich sind (also koeffizientenweise übereinstimmen), wenn sie an $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ verschiedenen Stellen übereinstimmen.

Nun wird ein Widerspruchsbeweis geführt: Es wird angenommen, dass für ein $\begin{eqnarray*} m \in \{0, 1, ..., n\} \end{eqnarray*}$ gelte, dass $\begin{eqnarray*} a_m \neq b_m \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} k = m+1, ..., n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} a_k = b_k \end{eqnarray*}$ . Dann betrachtet man das Differenzpolynom

$\begin{eqnarray*} r(x) = p(x) - q(x) = \sum_{k=0}^m {(a_k - b_k)x^k} \end{eqnarray*}$

und folgert daraus, dass $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ den Grad $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hat und $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat. Allerdings wird nicht näher begründet, warum $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen haben soll. $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ hat doch höchstens $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen, laut einem Satz vorher...das wäre meine erste Frage.

Nun wird daraus der Widerspruch gezeigt, indem gesagt wird, dass für $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ mehr Nullstellen habe als möglich, nämlich $\begin{eqnarray*} n+1 > m \end{eqnarray*}$ . Das wäre auch klar, wenn ich verstehen würde, warum $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat.
Für $\begin{eqnarray*} m = 0 \end{eqnarray*}$ steht dort:

Zitat:

[...] im Fall von $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ ist dies (konstantes Polynom $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) sowieso nicht möglich.

Das verstehe ich überhaupt nicht. verwirrt

Vielen Dank für eure Mühen!
Peter

10.01.2011, 15:35

wisili

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RE: Identitätssatz der Polynome
Was ist ein Widerspruchsbeweis?

10.01.2011, 18:17

PeterSchmitt

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Super, danke wisili smile

Dann waren meine bisherigen Widerspruchsbeweise nur Pesudo-Widerspruchsbeweise, jetzt habe ich es verstanden und mir nochmals notiert.

Vielen Dank,
Peter

30.09.2016, 19:19

MaxKaud

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RE: Identitätssatz der Polynome
Falls es noch jemand interessiert: (p-q)(x) = p(x)-q(x), und wenn p(x) und q(x) an n+1 verschiedenen Stellen übereinstimmen, dann ist obiges Polynom eben an n+1 Stellen gleich 0.

LG, Max

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