Basis des Nullraumes |
| 10.01.2011, 16:55 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis des Nullraumes Was ist die Dimension dieses Raumes (d.h. die Anzahl der Basis-Elemente); Man verifiziere an dem Beispiel, dass diese Basis-Element auf die Zeilenvektoren des Systems senkrecht stehen (d.h. Skalarprodukt Null haben). Kann mir jemand dabei helfen? danke |
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| 10.01.2011, 17:13 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was wäre denn hier zu tun? Zunächst einmal solltest du das LGS (mit Gauß) lösen. Das kannst du doch bestimmt. |
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| 10.01.2011, 20:17 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja sicher, ich soll das in MatrixForm aufschreiben: und dann in DreiecksmatrixForm bringen. Hab versucht kriegt aber irgendwie die Form nicht |
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| 10.01.2011, 20:21 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schon deine Matrixform stimmt leider nicht. 
In den Gleichungen kommt jeweils ein x_4 vor, die entsprechende Spalte bei dir ist aber 0. Ache auf die Indices. |
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| 10.01.2011, 20:25 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahso, ja danke! also das soll richtig sein: |
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| 10.01.2011, 20:27 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, und das schöne ist, dass diese Matrix bereits Dreiecksform hat. Du kannst nun also und beliebig wählen und nach x_1 und x_2 auflösen. |
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| 10.01.2011, 20:39 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab jetzt für gewählt und bei mir kommt raus dass ist. Was muss ich jetzt machen? |
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| 10.01.2011, 21:53 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast jetzt eine Lösung bestimmt. Wir brauchen alle. Lasse also allgemein t und s stehen und rechne es allgemein aus. Alternative (eigentlich ist das das gleiche): Setze einmal t = 0, s = 1 und rechne die Lösung aus. Setze dann t = 1, s = 0 und rechne wieder die Lösung aus. Die beiden Lösungsvektoren ergeben eine Basis des Lösungsraumes. Egal, welchen Weg du verfolgst: Es kommt das gleiche heraus. |
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| 11.01.2011, 13:52 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich das jetzt allg. aufschreibe sieht das so aus: t=3x+4y s=t-2y Wenn ich jetzt für t=0,s=1 einsetze, kommt das raus: 0=3x+4y 1=0-2y => y=-1/2 => 0=3x+4y => 0=3x+4*(-1/2) => x=2/3 Wenn ich jetzt t=1, s=0 einsetze, kommt das raus: 1=3x+4y 0=1-2y => y=1/2 => 1=3x+4/(1/2) => x-1/3 Ist das richtig? Und was ist jetzt genau die Lösung? |
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| 11.01.2011, 17:07 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wodurch kann ich sehen dass ich beliebig wählen kann? |
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| 11.01.2011, 19:26 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Lösung sollte stimmen, aber zuerst hast du x_3 und x_4 geschrieben, jetzt x und y. Bleibe besser bei einer Schreibweise. Du hast jetzt zwei Lösungsvektoren . Sie bilden deine Basis des Lösungsraumes. Dass du zwei Unbekannten beliebig wählen kannst, siehst du an der Zeilen- und Spaltenanzahl sehen: 2 Zeilen, 4 Spalten. Durch zwei Nullzeilen kannst du sie zu einer 4x4 - Matrix ergänzen. Pro Nullzeile kann man eine Unbekannte frei wählen. |
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| 11.01.2011, 20:23 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
....jetzt würd i noch Basis des Nullraumes und Dimension dieses Raumes brauchen und dann bin ich fertig. Wie krieg ich das? was muss ich genau machen? |
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| 11.01.2011, 23:16 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso "noch"? Du hast doch schon eine Basis ausgerechnet. Und nach "Dimension" könntest du schon mal googeln ...Dimensionsbegriff. |
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| 12.01.2011, 15:42 | mathemaus24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d.h. die dimension ist 4 oder? da ich vier vektoren brauche die R4 aufspannen, oder? |
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| 12.01.2011, 15:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht hier um die Basis des Nullraums (auch Kern genannt) und nicht des R^4. |
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| 12.01.2011, 21:28 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist dann genau meine Basis? die Vektoren einer Basis sind linear unabhängig?Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. und das ist die definition von dimension.... |
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| 13.01.2011, 08:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus diesem Beitrag:
kannst du die beiden Basisvektoren des Nullraums zusammenstöpseln. |
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| 13.01.2011, 11:32 | mathemaus24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso setzt du einmal t=1, s=0 und einmal t=0, s=1...wieso muss man zweimal einsezten? |
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| 13.01.2011, 11:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um linear unabhängige Lösungen zu erhalten. Im Prinzip ist dieses Vorgehen ein Teil des Gauß-Verfahrens. |
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| 13.01.2011, 11:44 | mathemaus24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke...lg |
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| 13.01.2011, 11:46 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich das jetzt allg. aufschreibe sieht das so aus: Und dann setzte ich für dann kommt raus: Schaut das Basis dann so aus: |
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| 13.01.2011, 12:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, das ist jetzt ein Basisvektor. Einen weiteren bekommst du mit x3=0 und x4=1 . |
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| 13.01.2011, 12:09 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nächste ist dann: |
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| 13.01.2011, 12:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Jetzt hast du die Basisvektoren des Nullraums. Deren Anzahl ist gleich der Dimension des Nullraums. |
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| 13.01.2011, 12:27 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Dimension ist dann 2 |
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| 13.01.2011, 12:33 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt muss ich überprüfen ob die zwei Basisvektoren senkrecht aufeinander stehen? Das mach ich so dass ich die zwei miteinander multipiliziere und am ende muss =0 rauskommen, richtig? also in zahlen schaut das so aus: (-1/3)*(2/3)+(1/2)*(-1/2)+1*0+0*1 wenn ich das ausrechne kommt 1/36 raus.... ich glaub ich hab irgendwo fehler gemacht, oder stehen die basisvektoren nicht senkrecht aufeinander? |
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| 13.01.2011, 12:36 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a nein, falsch...basisvektoren sollen senkrecht auf die zeilenvektoren stehen. also Basisvektoren muss senkrecht zu stehen? |
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| 13.01.2011, 12:41 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab das ausgerechnet und es kommt wirklich raus dass diese zwei Basisvektoren senkrecht zu zeilenvektoren stehen |
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| 13.01.2011, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jeder Vektor des Kerns steht senkrecht auf den Zeilenvektoren, insbesondere natürlich auch die Basisvektoren. 
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| 13.01.2011, 13:01 | ines89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja genau, und das hab ich jetzt am ende bewiesen als ich basisvektoren mit zeilenvektoren multipliziert hab und am ende 0 rauskommt.... Und damit hab ich diesen bsp beendet..... danke für deine unterstützung...... |
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| 13.01.2011, 19:14 | Kimi_R | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht mit den Begrifflichkeiten Das Skalarprodukt ist keine Multiplikation von Vektoren. Denn die Multiplikation von Vektoren ist überhaupt nicht definiert. Die Aufgabe hast du aber richtig gelöst |
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