Matrix - Polynom

10.01.2011, 17:02

ines89

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Matrix - Polynom

Man stelle die Matrix auf, die lineare Abbildung von einem Polynom p(t) auf die um den Faktor 3 gestreckte Funktion, d.h. das Polynom q(t):= p(t/3) realisiert, d.h. diejenige 3x3-Matrix die die Koeffizienten von p(t) $\begin{eqnarray*} \in P_2 (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ auf die Koeffizienten von q(t) abbildet. Ist diese Matrix invertierbar (wenn ja wie sieht inverse Matrix aus?)

Ich weiss nicht genau was ich machen soll, kann mir wer helfen?

10.01.2011, 18:08

Cel

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Du sollst also eine Abbildungsmatrix ausrechnen. Dafür brauchst du eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Kannst du eine angeben?

10.01.2011, 20:05

ines89

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Ist das die allg. Basis dafür: ax²+bx+c=0?

10.01.2011, 20:10

Cel

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Vielleicht denkst du dir das richtige, aber die 0 dort macht keinen Sinn. Der Raum, den wir betrachten, hat Dimension 3. Wir brauchen also drei Basisvektoren $\begin{eqnarray*} p_1(t),~p_2(t),~p_3(t) \end{eqnarray*}$ . Müsste in der Vorlesung zu finden sein. Ansonsten schau mal hier.

10.01.2011, 20:21

ines89

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Wenn wir Dimension 3 brauchen, dann soll das richtig sein
a+bx+cx²
Das mit der Basisvektoren verstehe ich nicht gant, wie soll ich aus diese allg. Polynomfunktion Basisvektoren bilden

10.01.2011, 20:25

Cel

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Ein Polynom des Grades drei lässt sich so darstellen: a + bx + cx². Ohne das x geht es nicht, ohne das x² auch nicht und ohne den absoluten Term auch nicht. Folglich (und genau so steht es im Wikiartikel, nur eben für höhere Dimension) bilden $\begin{eqnarray*} \{1, x, x^2\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des gewünschten Raumes.

Wie geht es weiter? Die Basisvektoren müssen mit der Abbildung abgebildet werden, weiteres hier. Lies es dir bitte zunächst sorgfältig durch.

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10.01.2011, 20:33

ines89

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Basisvektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ³ \end{eqnarray*}$ sind dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.01.2011, 21:43

Cel

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Wir befinden uns nicht im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Diese Art der Sichtweise auf ein Polynom kommt später.

Wir suchen die Abbildungsmatrix A von der Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: P_2(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R}), ~p(t) \mapsto p\left(\frac{t}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Phi bildet also Polynome auf Polynome ab. Keine Spur von Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Dazu benötigen wir drei Basisvektoren, zum Beispiel diese: $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 1,~p_2(t) = t,~p_3(t) = t^2 \end{eqnarray*}$

Die Abbildungsmatrix bekommen wir nun, indem wir die Bilder der Basisvektoren berechnen und sie bzgl. der Basis darstellen.

Was sind nun die Bilder der Basisvektoren?

11.01.2011, 13:41

ines89

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Ich weiss nicht was ich da jetzt machen kann/soll? Muss ich jetzt da was einsetzen oder?

11.01.2011, 13:46

klarsoweit

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Du mußt erstmal $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1), \varphi(p_2) \text{ und } \varphi(p_3) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.01.2011, 13:54

ines89

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Und wie soll ich das bestimmen? Was soll ich genau machen?

11.01.2011, 14:01

klarsoweit

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Wo ist das Problem? Die Abbildung phi ist doch konkret angegeben. Also kannst du doch von einem konkreten Polynom p dessen Bild phi(p) bestimmen.

11.01.2011, 14:08

ines89

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Problem ist das ich das Bild nicht mestimmen kann, da ich mich da nicht gut auskenne und deswegen hilfe brauche

11.01.2011, 14:47

klarsoweit

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Also ohne daß man anfängt, wird man nicht zu einem Ergebnis kommen.
Jetzt nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} p_3(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist nun $\begin{eqnarray*} \varphi(p_3) \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2011, 15:22

ines89

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Ich weiss dass ich zuerst $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1,_2,_3) \end{eqnarray*}$ ausrechnen muss, weiss aber nicht was das ist, und wie ich das ausrechnen soll.

11.01.2011, 15:41

klarsoweit

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RE: Matrix - Polynom
Wie das neue Polynom gebildet wird, steht doch hier:

Zitat:

Original von ines89
d.h. das Polynom q(t):= p(t/3) realisiert,

Wenn jetzt p(t) = t² ist, was ist dann q(t) ?

11.01.2011, 15:49

ines89

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RE: Matrix - Polynom
q(t):=p(t/3) = $\begin{eqnarray*} a_2 (t/2)²+a_1 (t/3)+a_0 = a_2/6 * t²+a_1/3+a_0 \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig verstanden,oder?

11.01.2011, 16:07

klarsoweit

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RE: Matrix - Polynom
Nee. Nochmal: du mußt q(t)=p(t/3) bestimmen. Nun ist p(t)=t² . Was ist nun p(t/3) ?
Das ist jetzt aber schon Schulstoff.

Habe jetzt keine Zeit mehr.

11.01.2011, 16:27

ines89

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RE: Matrix - Polynom
p(t/3) soll dann p(t²/3) sein, da p(t)=t²

11.01.2011, 17:37

klarsoweit

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RE: Matrix - Polynom
Nein. p(t/3) = (t/3)² . Ist das denn alles so schwer? Wir sind hier wirklich auf Schulniveau.

Und das bitte schön noch für die anderen beiden Polynome.

11.01.2011, 17:44

ines89

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RE: Matrix - Polynom
Also ich soll jetzt weiter $\begin{eqnarray*} p_1(t), p_2(t) und p_3(t) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

also $\begin{eqnarray*} q_1(t) =1, q_2(t)=t/3 und q_2(t)=(t/3)² \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

11.01.2011, 17:47

klarsoweit

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RE: Matrix - Polynom
Na endlich. Und jetzt kannst du die zur Abbildung gehörende Abbildungsmatrix aufstellen.

11.01.2011, 17:59

ines89

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RE: Matrix - Polynom
Bin mir nicht ganz sicher ob cih das richtig mache, hab aber versucht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/9 &0 &0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

11.01.2011, 18:56

Cel

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Fast richtig. Aber in der ersten Spalte muss der Koordinatenvektor des Bildes des ersten Basisvektors stehen. Und in der dritten stimmt es auch nicht. Die zweite stimmt.

12.01.2011, 21:37

ines89

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Was soll dann genau in der erste und dritte spalte stehen?

und am ende kommt raus dass die Matrix invertierbar ist da alle quadratische Matrizen invertierbar sind, oder?

13.01.2011, 09:10

klarsoweit

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Du solltest dir nochmal dringend anschauen, wie man Abbildungsmatrizen erstellt:
Man nehme den 1. Basisvektor $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 1 \end{eqnarray*}$ , bilde davon das Bild, welches das Polynom $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1)(t) = 1 \end{eqnarray*}$ ist und stelle dies als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar. Das führt zu $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1) = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 0 \cdot p_3 \end{eqnarray*}$ . Damit ist in der ersten Spalte der Matrix der Vektor (1, 0, 0) einzutragen.

13.01.2011, 10:26

Cel

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Zitat:

Original von ines89
[...] da alle quadratische Matrizen invertierbar sind, oder?

Und auch mit dieser Aussage wäre ich sehr vorsichtig, ein einfaches Gegenbeispiel wäre eine quadratische Nullmatrix.

13.01.2011, 11:58

ines89

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du solltest dir nochmal dringend anschauen, wie man Abbildungsmatrizen erstellt:
Man nehme den 1. Basisvektor $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 1 \end{eqnarray*}$ , bilde davon das Bild, welches das Polynom $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1)(t) = 1 \end{eqnarray*}$ ist und stelle dies als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar. Das führt zu $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1) = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 0 \cdot p_3 \end{eqnarray*}$ . Damit ist in der ersten Spalte der Matrix der Vektor (1, 0, 0) einzutragen.

Ist dann $\begin{eqnarray*} p_2(t)=t/3 und p_3(t)=(t/3)² \end{eqnarray*}$ ?
wenn das richtig ist dann muss ich das so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \varphi(p_2)=0*p_1+(t/3)*p_2+0*p_3<br /> \varphi(p_3)=0*p_1+0*p_2+(t/3)²*p_3 \end{eqnarray*}$

ist das richtig was ich geschrieben hab?

13.01.2011, 12:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von ines89
Ist dann $\begin{eqnarray*} p_2(t)=t/3 und p_3(t)=(t/3)² \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 1, ~ p_2(t) = t/3 \text{ und } p_3(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Abbildung phi erhalten wir $\begin{eqnarray*} \varphi(p_1)(t) = 1, ~ \varphi(p_2)(t) = t/3 \text{ und } \varphi(p_3)(t) = (t/3)^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich es dir komplett vorgekaut. Ist das denn so schwer?

Nun mußt du die Polynome phi(p_1), phi(p_2) und phi(p_3) als Linearkombination der Polynome p_1, p_2 und p_3 schreiben. Und merke: in den Linearfaktoren darf kein t vorkommen.

13.01.2011, 12:26

ines89

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Also, da $\begin{eqnarray*} p_1(t)=\varphi(p_1)(t), p_2(t)=\varphi(p_2)(t) \end{eqnarray*}$ muss ich nur $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ mit einem Faktor multiplizieren damit ich $\begin{eqnarray*} \varphi(p_3)(t) \end{eqnarray*}$ kriege?

Kann ich dass alls Vektor schreben, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Oder muss eine Zahl sein womit ich dann alles $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ multiplizieren muss?

13.01.2011, 13:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von ines89
Also, da $\begin{eqnarray*} p_1(t)=\varphi(p_1)(t), p_2(t)=\varphi(p_2)(t) \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, ich habe mich leider verschrieben.
Es ist $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 1, ~ p_2(t) = t \text{ und } p_3(t) = t^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du Zahlen a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2 und c_3 finden, so daß gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi(p_1)(t) = a_1 \cdot p_1(t) + a_2 \cdot p_2(t) + a_3 \cdot p_3(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(p_2)(t) = b_1 \cdot p_1(t) + b_2 \cdot p_2(t) + b_3 \cdot p_3(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(p_3)(t) = c_1 \cdot p_1(t) + c_2 \cdot p_2(t) + c_3 \cdot p_3(t) \end{eqnarray*}$

13.01.2011, 13:15

ines89

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also
$\begin{eqnarray*} 1=a_1+t*a_2+t²*a_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t/3=b_1+t*b_2+t²*b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (t/3)²=c_1+t*c_2+t²*c_3 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das jetzt ausrechnen, Lösungsformel kann ich nicht verwenden, soll ich dass in Matrixform aufschreiben und versuchen auszurechnen?

13.01.2011, 13:22

klarsoweit

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Nein, du sollst ganz konkrete Zahlen angeben, so daß diese Gleichungen erfüllt werden.

Tut mir leid, wenn ich das jetzt mal so direkt frage: warum mußt oder willst du Mathe studieren? Obwohl das Thema wirklich nicht schwer ist, bist du noch meilenwert davon entfernt, ein Fünkchen evrstanden zu haben. Was willst du bloß machen, wenn es in der Algebra mal richtig zur Sache geht?

13.01.2011, 13:27

ines89

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also ich hab jetzt konkrete zahlen eingesetzt und krieg das raus:
$\begin{eqnarray*} a_1=1,a_2=0,a_3=0,b_1=0,b_2=1/3,b_3=0,c_1=0,c_2=0,c_3=1/3 \end{eqnarray*}$

wenn ich das einsetze kommt das richtige raus.

13.01.2011, 13:32

ines89

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und jetzt krieg ich die matrix raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

es handelt sich um eine quadratische matrix die invertierbar ist.
und inverse matrix ist dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 &0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hab ich das richtig gemacht?

13.01.2011, 14:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von ines89
also ich hab jetzt konkrete zahlen eingesetzt und krieg das raus:
$\begin{eqnarray*} a_1=1,a_2=0,a_3=0,b_1=0,b_2=1/3,b_3=0,c_1=0,c_2=0,c_3=1/3 \end{eqnarray*}$

wenn ich das einsetze kommt das richtige raus.

Warum ist c_3 = 1/3 ?

13.01.2011, 14:26

ines89

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es soll 1/9 sein, oder? weil dann t²/9=(t/3)²

13.01.2011, 14:27

klarsoweit

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Ja.

13.01.2011, 14:29

ines89

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passt...damit bin ich dann mit diesen bps fertig. danke das du dir für mich zeit genommen hat und mich unterstützt hast

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