Basen und Unterräume

10.01.2011, 19:53

Voluptas

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Basen und Unterräume

Hallo zusammen

Habe wieder einmal ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme.
Hier die Aufgabenstellung:

Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} W= \{(x-y+2t; 2x+y+3z+t; 3x+2y+5z+t; -3y-3z+3t),x,y,z,t \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .
a) Berechnen Sie eine Basis von W

b) Ergänzen Sie Ihre Basis aus Teil a) zu einer Basis für $\begin{eqnarray*} V= \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis für W

Problem

Ich weiss mit Teilaufgabe c) überhaupt nichts anzufangen. Muss ich einfach die Basis von a) orthonormalisieren?

Bisher habe ich das hier erhalten:

a) $\begin{eqnarray*} w_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix} w_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} B_{2}= \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwie bin ich etwas gar ratlos im Moment.

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 09:31

klarsoweit

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RE: Basen und Unterräume

Zitat:

Original von Voluptas
Ich weiss mit Teilaufgabe c) überhaupt nichts anzufangen. Muss ich einfach die Basis von a) orthonormalisieren?

Ja, sofern du eine korrekte Basis von W hast.

Zitat:

Original von Voluptas
Bisher habe ich das hier erhalten:

a) $\begin{eqnarray*} w_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix} w_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn das eine Basis von W sein soll, kann das nicht sein. Für x=y=1 und z=t=0 ist (0; 3; 5; -3) ein Element von W. Diesen Vektor kannst du aber nicht aus w1 und w2 linear kombinieren.

11.01.2011, 10:08

Voluptas

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Also ich habe meine Rechnung nochmals kontrolliert und keinen Fehler gefunden. Vielleicht ist das aber auch gar nicht der richtige Rechenweg?
Ich habe Folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 1\\ 3&2&5&1\\0&-3&-3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach der ersten Zeilenumformung:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0&3&3&-3\\ 0&5&5&-5\\0&-3&-3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da sehe ich doch bereits, dass zwei Vektoren wegfallen? Ist das nicht richtig so?

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 10:14

klarsoweit

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Es ist zwar richtig, daß W von zwei Vektoren aufgespannt wird. Aber mein Argument ist ja nun nicht entkräftet. Ich weiß auch nicht, wie du auf diese Matrix gekommen bist.

11.01.2011, 10:17

Voluptas

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Nunja, ich habe das hier
$\begin{eqnarray*} W= \{(x-y+2t; 2x+y+3z+t; 3x+2y+5z+t; -3y-3z+3t),x,y,z,t \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$
in die Matrix A umgeformt.

Nicht gut?

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 10:22

klarsoweit

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Anscheinend hast du die Vektoren, von denen W aufgespannt wird, als Spalten in die Matrix eingetragen. Das geht aber so nicht. Du mußt die Vektoren als Zeilen in die Matrix schreiben.

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11.01.2011, 10:34

Voluptas

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Ich habe gerade irgenwo einen Knoten.
Das hier bedeutet doch:
$\begin{eqnarray*} W= \{(x-y+2t; 2x+y+3z+t; 3x+2y+5z+t; -3y-3z+3t),x,y,z,t \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

dasselbe wie:

$\begin{eqnarray*} W= \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}2\\1\\3\\1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}3\\2\\5\\1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte übrigens dasselbe Ergebnis, wenn ich die Vektoren als Zeilen, bzw Spalten schreibe. Zu Beginn war es doch schon als Zeilen eingetragen, oder nicht?

Als Spalten:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1&2&3&0\\-1&1&2&-3\\0&3&5&-3\\2&1&1&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gibt dann auch:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1&2&3&0\\0&3&5&-3\\0&3&5&-3\\0&-3&-5&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 10:39

klarsoweit

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Also zwischen

Zitat:

Original von Voluptas
Nach der ersten Zeilenumformung:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0&3&3&-3\\ 0&5&5&-5\\0&-3&-3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

Zitat:

Original von Voluptas
Gibt dann auch:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1&2&3&0\\0&3&5&-3\\0&3&5&-3\\0&-3&-5&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sehe ich aber noch Unterschiede. Letzteres ist jetzt aber richtig. Die ersten beiden Zeilen als Vektor geschrieben bilden eine Basis von W.

11.01.2011, 10:49

Voluptas

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Dann gilt jetzt also für a)

$\begin{eqnarray*} w_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix};w_2 = \begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann für b)

$\begin{eqnarray*} B_{2}= \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Kann man den Fehler von mir im ersten Teil folgendermassen "eliminieren"?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3&x_4\\y_1&y_2&y_3&y_4\\z_1&z_2&z_3&z_4\\t_1&t_2&t_3&t_4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder ist das nicht die richtige Begründung? Oder wie komme ich darauf, dass die Vektoren als Spalten und nicht als Zeilen geschrieben werden müssen?

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 10:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Voluptas
Dann gilt jetzt also für a)

$\begin{eqnarray*} w_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix};w_2 = \begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann für b)

$\begin{eqnarray*} B_{2}= \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Ja.

Zitat:

Original von Voluptas
Kann man den Fehler von mir im ersten Teil folgendermassen "eliminieren"?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3&x_4\\y_1&y_2&y_3&y_4\\z_1&z_2&z_3&z_4\\t_1&t_2&t_3&t_4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem ersten Teil bin ich noch einverstanden. Was der Nullvektor auf der rechten Seite soll, weiß ich nicht.

11.01.2011, 11:02

Voluptas

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Bedeutet der dann nicht, dass dann die Vektoren linear unabhängig sind? Oder wie schreibt man das auf?

Mir ist noch nicht ganz klar, warum man die Vektoren als Spalten in die Matrix eintragen muss und danach die Zeilen die Lösungen sind?

Gibt's hier eine "einfache" Erklärung?

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 11:35

klarsoweit

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Mir scheint, du hast das ganze noch nicht verstanden. Ursprünglich wird der Raum W von den Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aufgespannt. Wenn man aus diesen Vektoren eine linear unabhängige Familie rausfiltern will, dann trägt man die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringt diese auf Zeilenstufenform.

11.01.2011, 13:02

Voluptas

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Entschuldige bitte, aber mir ist das noch nicht so ganz klar.

Also wenn mir beispielsweise drei Vektoren gegeben sind, die jeweils aus drei Komponenten bestehen,

so ist der Untervektorraum der Raum, der durch die Vektoren begrenzt ist?
Es entsteht in dem Sinne ein kleinerer Körper in einem grösseren, dem Vektorraum?
Wenn ich jetzt bemerke, dass einer der Vektoren linear abhängig zu einem anderen Vektor ist, dann braucht's ihn ja nicht zur Beschreibung des Untervektorraumes, er gehört also nicht zur Basis dazu?
Die Vektoren sind orthogonal, wenn sie senkrecht zueinander stehen,
sie sind orthonormal, wenn sie zusätzlich den Betrag von 1 besitzen.

Ist das schon einmal richtig so? Ich glaube nämlich, dass ich irgendwo bei der Theorie einen Knoten habe.

Ich habe irgendwie ein Chaos mit diesem zeilenweisen Eintragen in die Matrix.
Nochmal von vorne:

$\begin{eqnarray*} W= \{(x-y+2t; 2x+y+3z+t; 3x+2y+5z+t; -3y-3z+3t),x,y,z,t \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Das sind doch die vier Vektoren. Sprich:

$\begin{eqnarray*} W=\{( v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}2\\1\\3\\1\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}3\\2\\5\\1\end{pmatrix}; v_4=\begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\3\end{pmatrix})\} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet dann doch, dass meine Vektoren so aufgebaut sind:
$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich sie jetzt aber in meine Matrix eintragen will, die ich ja folgendermassen aufbaue:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3&x_4\\y_1&y_2&y_3&y_4\\z_1&z_2&z_3&z_4\\t_1&t_2&t_3&t_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so macht das überhaupt keinen Sinn, wenn ich die Vektoren zeilenweise eintrage.

'tschuldigung, aber ich steh' g'rad voll auf'm Schlauch.

Gruss

Voluptas.

11.01.2011, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Voluptas

so ist der Untervektorraum der Raum, der durch die Vektoren begrenzt ist?

Nun ja, sagen wir besser "aufgespannt" wird.

Zitat:

Original von Voluptas

Es entsteht in dem Sinne ein kleinerer Körper in einem grösseren, dem Vektorraum?
Wenn ich jetzt bemerke, dass einer der Vektoren linear abhängig zu einem anderen Vektor ist, dann braucht's ihn ja nicht zur Beschreibung des Untervektorraumes, er gehört also nicht zur Basis dazu?
Die Vektoren sind orthogonal, wenn sie senkrecht zueinander stehen,
sie sind orthonormal, wenn sie zusätzlich den Betrag von 1 besitzen.

Ja.

Zitat:

Original von Voluptas
Das sind doch die vier Vektoren. Sprich:

$\begin{eqnarray*} W=\{( v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}2\\1\\3\\1\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}3\\2\\5\\1\end{pmatrix}; v_4=\begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\3\end{pmatrix})\} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet dann doch, dass meine Vektoren so aufgebaut sind:
$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug. Nenne mir doch mal Zahlen x,y,z und t, so daß beispielsweise der Vektor v4 erzeugt werden kann und er somit ein Element von W ist.

11.01.2011, 20:21

Voluptas

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Ich habe mir jetzt ewig lange den Kopf über deine Frage zerbrochen, bin aber auf keine Antwort gekommen. Vielleicht sollte ich eine Nacht darüber schlafen.

Gruss

Voluptas.

12.01.2011, 06:40

Voluptas

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Also ich versuch's nochmal:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}+ y \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\\1\end{pmatrix} + z \cdot\begin{pmatrix}3\\2\\5\\1\end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wäre doch:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}+ 0 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\\1\end{pmatrix} + 0 \cdot\begin{pmatrix}3\\2\\5\\1\end{pmatrix}+ 1 \cdot \begin{pmatrix}0\\-3\\-3\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Lösung? Also x=y=z=0 und t=1.

Was soll mir das jetzt genau sagen?

Gruss

Voluptas.

12.01.2011, 09:41

klarsoweit

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RE: Basen und Unterräume
Dummerweise ist dein W so definiert:

Zitat:

Original von Voluptas
Sei $\begin{eqnarray*} W= \{(x-y+2t; 2x+y+3z+t; 3x+2y+5z+t; -3y-3z+3t),x,y,z,t \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

Und wenn ich da x=y=z=0 und t=1 einsetze, komme ich auf den Vektor (2, 1, 1, 3) . Und das ist nicht (0, -3, -3, 3) .

Um dem Elend ein Ende zu machen:
Ein beliebiger Vektor aus W hat laut Definition von W die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-y+2t \\ 2x+y+3z+t \\ 3x+2y+5z+t \\ -3y-3z+3t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit x,y,z,t aus R.

Das kann man auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-y+2t \\ 2x+y+3z+t \\ 3x+2y+5z+t \\ -3y-3z+3t \end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wird W von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt.

12.01.2011, 22:04

Voluptas

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Ich habe es noch einmal versucht.
a)
Definition eines Vektors aus W:
$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix}x-y + 2t\\ 2x + y+3z + t\\ 3x + 2y + 5z + t\\ -3y-3z +3t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
W wird also von folgenden Vektoren aufgespannt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}-1\\1\\2\\-3\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix};\begin{pmatrix}2\\1\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Basis ist:
$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix} v_{2}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} B_{0}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}= 1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, 2 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, 3 \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, 0 \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix}= 0 \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},3 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, 5 \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, -3 \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{2}= \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\3\\5\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} w_{1}= \frac{1}{\| v_{1} \|} \cdot v_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_{1}= \frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{2}=\frac{v_{2} - <v_{2}, w_{1}> \cdot w_{1}}{\sqrt{<v_{2} - <v_{2},w_{1}> \cdot w_{1},v{2} - <v_{2},w_{1}>\cdot w_{1}>}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_{2},w_{1}> = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} + 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{14}} + 5 \cdot \frac{3}{\sqrt{14}} + (-3) \cdot \frac{0}{\sqrt{14}}= \frac{3}{2} \cdot \sqrt{14} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2} - <v_{2},w_{1}> \cdot w_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \\-3\end{pmatrix} - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{14} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \\-3\end{pmatrix} - \frac{3}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - \frac{3}{2}\\ 3- \frac{6}{2} \\ 5 - \frac{9}{2}\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\0\\\frac{1}{2}\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=v_{2} - <v_{2},w_{1}> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_{1}=<x_{1},x_{1}>= (-\frac{3}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-3)^2=\frac{23}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_{2}= \frac{x_{1}}{\sqrt{t_{1}}} = \frac{\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\0\\\frac{1}{2}\\-3\end{pmatrix}}{\sqrt{\frac{23}{2}}}= \frac{\sqrt{46}}{{23}} \cdot \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\0\\\frac{1}{2}\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich es so endlich richtig gemacht habe.

Gruss

Voluptas.

13.01.2011, 09:15

klarsoweit

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Das Ergebnis ist zumindest richtig. Ich würde nur $\begin{eqnarray*} w_2 = \frac{1}{\sqrt{46}} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben.

13.01.2011, 22:06

Voluptas

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Danke vielmals für die Hilfe. Ich denke, mit der ausfürlichen Erklärung verstehe ich die Rechenschritte nun besser.

Gruss

Voluptas.

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