Isomorphie von 2 Gruppen

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Ionel Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie von 2 Gruppen
Hallo, ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen bei der ich unbedingt hilfe brauche.
Die Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie: Die beiden Gruppen mit {0} sind isomorph zueinander.

ICh weiß absolut nicht was ich da machen soll.
Danke schonmal für eure Hilfe.

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie von 2 Gruppen
Zuerst einmal wird das neutrale Element auf das Neutrale abgebildet, also f(0)=1.

Nun bestimme alle Homomorphismen von , welche davon sind bijektiv ?
Ionel Auf diesen Beitrag antworten »

also ich soll zeigen, das die elemente der gruppe (Z4,+) jeweils genau einem element der gruppe zugeordnet werden kann, oder auch nicht. Nun bin ich mir aber auch nicht sicher, welche elemente zur gruppe gehören. wenn ich das richtig verstanden habe ist die gruppe im prinzip die gruppe ohne die 0. kann das sein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ionel
also ich soll zeigen, das die elemente der gruppe (Z4,+) jeweils genau einem element der gruppe zugeordnet werden kann


Das ist falsch, denn das wäre einfach nur irgendeine Bijektion, die nicht der Homomorphieeigenschaft genügen muss.

Die Zuordnung

f(0)=4
f(1)=3
f(2)=1
f(3)=2

ist zum Beispiel bijektiv, ist aber kein Isomorphismus, da zum einen die neutralen Elemente nicht aufeinander abgebildet werden und zum zweiten die Homomorphiebedingung

nicht erfüllt ist.


Zitat:
Original von Ionel
Nun bin ich mir aber auch nicht sicher, welche elemente zur gruppe gehören. wenn ich das richtig verstanden habe ist die gruppe im prinzip die gruppe ohne die 0. kann das sein?


Das ist so halb richtig, die Gruppe ist die Einheitengruppe von versehen mit der Multiplikation.

Da 5 eine Primzahl ist sind alle Elemente Einheiten außer der 0.

Man kann das aber nicht auf beliebige Restklassen übertragen, zum Beispiel ist die Gruppe , da nur die 1 und die 5 eine Einheit in sind.
Ionel Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss erst die Elemente der gruppe (Z4,+) mit denen von (z5,*) verknüpfen.
Die Elemente von Z4,+ --> 0,1,2,3
Die Elemente von Z5, * --> 1,2,3,4,5

Ist das richtig?

Dann wäre demnach die Zuordnung:

f(0)=1
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=4
f(?)=5 -> in diesem Fall fehlt mir doch aber etwas oder? Ich kann nicht jedem element etwas zuordnen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

In ist .

Zwei Algebren unterschiedlicher Kardinalität können auch nicht isomorph zueinander sein, ja nicht mal bijektiv.

Und zum zweiten:
Hast du die Homomorphieeigenschaft überprüft?
 
 
Ionel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider nicht so recht wie ich das überprüfen kann. Ich habe ja z.B. und ich mache eine Abbildung f:. DAbei muss gelten:
Wie kann ich das jz überprüfen bzw. beweisen??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, in dem Latex Wirrwarr schreibe ich nicht rum, versuchs noch einmal oder editiere deinen Text.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es denn, wenn du erst mal einen Wert festlegst und dann die Homomorphieeigenschaft benutzt, um die anderen Bilder zu finden?

Deine Abbildung

Zitat:
Original von Ionel


f(0)=1
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=4


ist auf jeden Fall kein Homomorphismus, denn es ist:

.

Und das kann ja nicht stimmen.....
Ionel Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, logisch eigentlich =)
nagut, ich habe es jetzt so:

f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=3

4=f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=2*2=4

Das wäre doch jz ein Homomorphismus oder?

Wäre damit jz also bewiesen das die beiden Gruppen Isomorph sind?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Homomorphismus ist gefnden, Bijektivität zu zeigen sollte hier kein Problem darstellen, also isomorph.
Zenit Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid das klappt so nicht. unglücklich



Ich denke nicht das es einen Isomorphismus gibt.
Grob gesagt denke ich das Problem liegt in der Addition und Multiplikation da die Multiplikation nicht immer das Ergebnis liefern kann was die Addition und spätere Abbildung auch liefert.
Wie ich das allerdings wirklich klar formulieren kann ist mir rätselhaft.

Ich denke man kann es höchstens durchprobieren ( Hammer ) ... Naja ... bis Donnerstag ist ja noch Zeit Augenzwinkern

Gruß Tom
Zenit Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ... hab jetzt glaub ich einen besseren ansatz: (dank Igrizu durch den Hinweis die Homomorphie über die Eigenschaften aufzubauen und nicht gleich eine zu suchen )





mit v,w,x,y in Z5/{0}


(jedes Element aus Z5/{0}lässt sich durch (x mod 4)+1 darstellen(für alle x in Z))




da u mod 4ganzzahlig




(da sonst der Bruch wieder nicht ganzzahlig wird )



Ist noch etwas wackelig aber ich denke mit dem Ansatz beliebige Variablen anstatt eines festen Homomorphismus vorzugeben und dann auf einen Widerspruch zu schließen sollte funktionieren. Seh ich mir aber erst wieder gründlich an wenn ich geschlafen habe Big Laugh

der Tom
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, der Isomorphismus war doch bereits gefunden:

Zuerst einmal bildet ein
Homomorphismus die neutralen Elemente aufeinander ab, also:

f(0)=1

Dann bilden wir f(1)=2 ab und erhalten mit Homomorphiebedingungen:



.

Wir erhalten dann folgendes:

Zitat:
Original von Ionel


f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=3


Dass es sich um einen Homomorphismus handelt ist klar, denn so wurde die Abbildung konstruiert, dass er bijektiv ist sieht man.

Ich dachte eigentlich, die Aufgabe wäre erledigt.....


Zitat:
Original von Zenit





Und das ist ja mal sowas von falsch... unglücklich

Zenit Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Ho,
jop ... also der beweis passt nicht wirklich. Hab ich auch schon einsehen müssen unglücklich

Aber da in Z* die Null nicht dazugehört kann man nicht einfach mod 5 rechnen.
in Z* müsste es dann so aussehen:
0 gibts nicht
1=1
2=2
3=3
4=4
5=1
6=2
7=3
8=4
9=1
10=2
11=3
12=4
die Berrechnung müsste für a aus Z* eher: a= x mod 4 +1 , x aus N lauten wenn ich mich nicht täusche.

Ich versteh die Gruppe also anders als du. Kann man die Struktur von Z5 auch einfach in Z* annehmen obwohl dort doch ein Element fehlt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zenit
Hey Ho,
jop ... also der beweis passt nicht wirklich. Hab ich auch schon einsehen müssen unglücklich

Aber da in Z* die Null nicht dazugehört kann man nicht einfach mod 5 rechnen.


unglücklich

Und wie soll man dann deiner Ansicht nach rechnen?

ist die Gruppe der Einheiten im Ring .

Weißt du denn, was eine Einheit ist?

Zitat:
Original von Zenit
0 gibts nicht
1=1
2=2
3=3
4=4
5=1
6=2
7=3
8=4
9=1
10=2
11=3
12=4
die Berrechnung müsste für a aus Z* eher: a= x mod 4 +1 , x aus N lauten wenn ich mich nicht täusche.

unglücklich unglücklich

Dann täuscht du dich und scheinst auch in der dazugehörigen Vorlesung nicht wirklich aufgepasst zu haben.
Hier stehen auch Nichteinheiten in deiner Tabelle, zum Beispiel ist 5 keine Einheit in und deshalb nicht in der Einheitengruppe.
Es reicht auch vollkommen aus, jeweils den kleinsten positiven Repräsentanten anzugeben.

Zitat:
Original von Zenit

Ich versteh die Gruppe also anders als du.

unglücklich unglücklich unglücklich
Dann verstehst du nicht, um welche Gruppe es sich handelt oder was du machen sollst, alles was du hier hingeschrieben hast ist ziemlicher Blödsinn.

Zitat:
Original von Zenit
Kann man die Struktur von Z5 auch einfach in Z* annehmen obwohl dort doch ein Element fehlt?

unglücklich unglücklich unglücklich unglücklich
hat nur die Einheiten 1 und -1.
Ausserdem ist ein Körper, was für nicht zutrifft.
Zenit Auf diesen Beitrag antworten »

Inzwischen hab ich's auch eingesehen.

Ich hab die Tatsache das die Null nicht in der Gruppe ist falsch verstanden.

Ich hätte nicht gedacht das man wenn man ein Element wegnimmt trotz allem noch mod 5 rechnet. Wie gesagt habe ich das eher als eine Gruppe mod4+1 verstanden.

War leider ein falscher Ansatz.

Danke fürs Belehren Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

0 ist niemals ein Einheit, wenn manzum Beispiel betrachtet hat man nur die Einheiten 1 und 5, was auch daran liegt, dass kein Körper ist, denn in einem Körper sind alle Elemente ungleich 0 Einheiten.

Aber es sind ja Einheiten modulo 6 und nicht modulo irgendwas, denn zwei Einheiten modulo 6 sind modulo 8 vielleicht keine mehr.

Man sollte schon wissen, dass die Rechenvorschriften "vererbt"werden. Augenzwinkern
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