Limes von parametrisierten Hyperebenen?

11.01.2011, 14:29

gonnabphd

Limes von parametrisierten Hyperebenen?

Hi,

Sei $\begin{eqnarray*} E(t) \end{eqnarray*}$ eine Einparameter-Familie von Hyperebenen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Weiss vielleicht jemand hier, wie in diesem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to t} E(t) \cap E(s) \end{eqnarray*}$ definiert ist?

Vielleicht als

$\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R^n | &&\exists \text{ stetiges }f: I \to \mathbb R^n, t \in I \text{ ($I$ ist Intervall)}, \text{ so dass } \\ && f(s) \in E(t)\cap E(s), \; \forall \, s \in I \text{ und $\lim_{s\to t} f(s) = x$}\} \end{eqnarray*}$

?

Gruss smile

11.01.2011, 18:47

Abakus

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RE: Limes von parametrisierten Hyperebenen?
Hallo!

Das sagt mir recht wenig: ist eine Hyperebene dasselbe wie ein Hyperraum?

Meine Idee wäre zu überlegen, was fehlt: zum ganzen Raum kann ja höchstens was 1- oder 2-dimensionales fehlen? Ggf. lässt sich das ja bestimmen? (Oder liege ich ganz falsch?)

Grüße Abakus smile

11.01.2011, 19:18

gonnabphd

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Eine Hyperebene sollte ein Unterraum von der Dimension n-1 sein.

Für die betrachtete Familie ist der Übergang übrigens stetig. Das heisst es gibt eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |u(t)|=1, \; E(t) = u(t)^\perp \end{eqnarray*}$

Zitat:

Meine Idee wäre zu überlegen, was fehlt: zum ganzen Raum kann ja höchstens was 1- oder 2-dimensionales fehlen? Ggf. lässt sich das ja bestimmen? (Oder liege ich ganz falsch?)

Ich verstehe nicht ganz, wie du das meinst "zu überlegen, was fehlt". Also, für jedes s ist $\begin{eqnarray*} E(s) \cap E(t) \end{eqnarray*}$ ein Raum der Dimension n-1 oder n-2, das sehe ich auch so.

Wenn wir noch annehmen, dass E(t) wirklich ungleich E(s) ist für s ungleich t, dann wäre das jeweils ein Raum der Dimension n-2.

Was ich oben gesagt hatte, war den Limes zu interpretieren, als die Menge derjenigen Punkte, für welche es eine reelle Folge $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ gibt und eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \in E(t) \cap E(s_n) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} s_n \to t, \; x_n \to x \end{eqnarray*}$

konvergiert. Das würde auch irgendwie Sinn machen. Nur dachte ich, es sollte wohl eine allgemein "anerkannte" Definition geben, wenn der Prof das im Skript benutzt ohne eine Definition zu geben.

11.01.2011, 19:39

Abakus

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Du kannst ja statt der Hyperebene den Normalenvektor (--> Hesse'sche Normalenform) dazu betrachten bzw. den davon aufgespannten Raum. Das wäre das, was zum gesamten Raum noch "fehlt" halt.

Deine Interpretation formuliert die Stetigkeit mit Folgen aus: ich denke, das geht so.

Grüße Abakus smile

15.01.2011, 23:32

gonnabphd

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@Abakus:

Wolte mich noch bedanken für dein Input. Habe mal noch abgewartet, ob vielleicht jemand in den Thread guckt, der schonmal eine Definition von einem solchen Limes gesehen hat.

Aber ich denke, zumindest in der Idee hinter einer möglichen Definition stimmen wir ja überein. Freude

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