Beweis der Lage des Wendepunkts für Funktion 3. Grades

11.01.2011, 16:35

ikakika

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Beweis der Lage des Wendepunkts für Funktion 3. Grades

Meine Frage:
Ich muss nachweisen, dass bei jeder Funktion 3. Grades f(x)=ax³+bx²+cx+d die Wendestelle genau mittig zwischen den beiden Extremstellen liegt, wenn sie welche hat.
Leider komme ich mit dieser Aufabe einfach nicht zurecht und bitte dringend um Hilfe!!

Meine Ideen:
Als Tipp habe ich bekommen: Ableitungen, Extrem- und Wendestellen in allgemeiner Form bestimmen und diese miteinander vergleichen.

Bis jetzt habe ich die ABLEITUNGEN berechnet:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f'''(x)=6a ODER f'''(x)=6a+2 (ich bin mir nicht ganz sicher :S)

Mit den Wendestellen und den Extrema komme ich überhaupt nicht zurecht!!
Bitte helft mir smile

smile

11.01.2011, 16:43

lgrizu

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RE: Beweis der Lage des Wendepunkts für Funktion 3. Grades
Es gibt eine etwas einfachere Möglichkeit, das zu lösen, dazu überlegen wir uns zuerst, was für "Typen" von Funktionen vom Grad 3 es gibt, also wie viele Nullstellen sie haben können und bestimmen die Linearfaktozerlegung dieser "Typen".

Typ 1: 1 Nullstelle: $\begin{eqnarray*} f(x)=k(x-a)^3 \end{eqnarray*}$
Typ 2: 2 Nullstellen $\begin{eqnarray*} f(x)=k(x-a)^2(x-b) \end{eqnarray*}$
Typ 3: 3 Nullstellen $\begin{eqnarray*} f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) \end{eqnarray*}$

Welche dieser Typen hat Extremstellen und wie viele?

11.01.2011, 17:01

ikakika

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wie kommst du auf das 'K' ? woher hast du das?
ich verstehe nicht wie du diese 3 typen zusammengestellt hast :S

11.01.2011, 17:10

lgrizu

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Das k ist irgendeine Konstante, für die weitere berechnung können wir die vernachlässigen.

Das, was ich angegeben habe sind die möglichen Linearfaktorzerlegungen einer Funktion vom Grad 3.

Wenn du damit jedoch nichts anfangen kannst halten wir uns an deine Idee.

(entschuldige, ich möchte dich nicht verwirren)

Du hast die Ableitung richtig bestimmt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$ .

Nun bestimme die Nullstellen der Ableitung.

11.01.2011, 17:15

ikakika

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aber die nullstelle benötige ich doch garnicht oder?
wichtig sind doch nur extrema und wendestelle oder nicht?
ich blick in letzter zeit einfach nicht durch....
jemand meinte ich sollte x²+(2b/3a)x+(c/3a)=0 berechnen...jedoch verstehe ich hierbei nichtmal mehr wie sie dazu gekommen ist. :S
könntest du mir das genauer erklären?

11.01.2011, 18:15

Abakus

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Hallo!

Bestimme einfach als nächsten Schritt den Wendepunkt (x- und y-Wert), wenn er denn existiert.

Dann überlege, wie es mit der Symmetrie aussieht.

Grüße Abakus smile

smile

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11.01.2011, 18:21

ikakika

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hmm...also ich glaube dass da keine symmetrie erkennbar ist da gerade und ungerade exponennten vorhanden sind...oder?

11.01.2011, 18:40

lgrizu

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Zitat:

Original von ikakika
aber die nullstelle benötige ich doch garnicht oder? wichtig sind doch nur extrema und wendestelle oder nicht?

Die Nullstellen der Ableitung benötigst du, denn das sind die möglichen Kandidaten für Extremstellen.

Zitat:

Original von ikakika
jemand meinte ich sollte x²+(2b/3a)x+(c/3a)=0 berechnen...jedoch verstehe ich hierbei nichtmal mehr wie sie dazu gekommen ist. :S
könntest du mir das genauer erklären?

Dieser jemand hat recht, wir betrachten zuerst $\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$ .

Um die möglichen Extrema zu bestimmen setzen wir das gleich 0:

$\begin{eqnarray*} 3ax^2+2bx+c=0 \end{eqnarray*}$

Nun möchten wir die Nullstellen bestimmen, dazu wird das Polynom zuerst einmal normiert, also der Koeffizient des höchsten Exponenten soll 1 werden, dazu dividieren wir durch 3a.

Was erhalten wir danach?

@Abakus:

Ich denke, wir sollten erst vollständig klären, wie man die Extremwerte berechnet bevor wir die Wendestelle berechnen und uns die Symmetrie anschauen.

@ikakika
Abakus meint mit Symmetrie die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zu ihrem Wendepunkt, und genau das sollst du zeigen.

11.01.2011, 19:16

Abakus

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Zitat:

Original von lgrizu
@Abakus:

Ich denke, wir sollten erst vollständig klären, wie man die Extremwerte berechnet bevor wir die Wendestelle berechnen und uns die Symmetrie anschauen.

@ikakika
Abakus meint mit Symmetrie die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zu ihrem Wendepunkt, und genau das sollst du zeigen.

Ja, wenn wir die Punktsymmetrie bzgl. des Wendepunktes gezeigt hätten, wäre das ja schon was?

@ Igrizu: ich überlasse dir mal weiter das Feld.

Grüße Abakus smile

smile

11.01.2011, 20:06

ikakika

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soooo
ich hab jetzt einbisschenrumgerechnet und rumprobiert...
0=3ax²+2bx+c
0=x²+ 2bx/3a + c/3a

Anschließend habe ich sowas wie Variable genommen/eingesetzt:
2b/3a=B und c/3a=C
also haben wir:
0=x²+Bx+C
in pq-Formel einsetzen
x1,2= -B/2+- Wurzel aus( (-B/2)²-C )

x1(r) ist dann das gleiche mit positiver Wurzel und x2(s) das gleiche mit negativer Wurzel
bis jetzt richtig oder??
klingt für mich jedenfalls logisch..

anschließend hat mir eine andere Person gemeint dass:
die mitte ist gegeben zu
m= r+(s-r)/2
und hierbei verstehe ich wieder etwas nicht...
wie kommt derjenige auf 'm= r+(s-r)/2' ??

11.01.2011, 20:13

lgrizu

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Zitat:

Original von ikakika
soooo
ich hab jetzt einbisschenrumgerechnet und rumprobiert...
0=3ax²+2bx+c
0=x²+ 2bx/3a + c/3a

Anschließend habe ich sowas wie Variable genommen/eingesetzt:
2b/3a=B und c/3a=C
also haben wir:
0=x²+Bx+C
in pq-Formel einsetzen
x1,2= -B/2+- Wurzel aus( (-B/2)²-C )

So, das stimmt schon mal, wir haben also $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{2b}{6a} \pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}} \end{eqnarray*}$
Nun können wir das in der Wurzel Nennergleich machen und etwas vereinfachen.

Zitat:

Original von ikakika
x1(r) ist dann das gleiche mit positiver Wurzel und x2(s) das gleiche mit negativer Wurzel
bis jetzt richtig oder??
klingt für mich jedenfalls logisch..

hier kann ich dir nicht ganz folgen, was soll x1(r) bzw. x2(s) denn sein?

Zitat:

Original von ikakika
anschließend hat mir eine andere Person gemeint dass:
die mitte ist gegeben zu
m= r+(s-r)/2
und hierbei verstehe ich wieder etwas nicht...
wie kommt derjenige auf 'm= r+(s-r)/2' ??

Gleiche Frage wie oben, was sollen r und s sein?

Vereinfach erst einmal die Wurzel oben und berechne die Wendestelle.

11.01.2011, 20:30

ikakika

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ok >.< irgendetwas verstehe ich hier nicht...

wie kommst du denn auf x1,2= -2B/6a....
wie hast du das gerechnet?

also x1 und x2 sind ja die einzelnen extrema oder nicht? und die habe ich dann r und s genannt.

und m=r+((s-r)/2) stellt ja genau die mitte zwischen den 2 extrema da..

ich verstehe jedoch noch nicht wie du jetzt auf x1,2 -2b/6a.... gekommen bist.

11.01.2011, 20:33

ikakika

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nennergleich wäre es ja dann 1/3b² / 3a² - c/3a

11.01.2011, 20:45

lgrizu

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Okay, eins nach dem naderen, zuerst einmal habe ich um

Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{2b}{6a} \pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a}} \end{eqnarray*}$

zu erhalten einfach, genau so wie du auch, die pq-Formel angewendet auf $\begin{eqnarray*} x^2+\frac{2b}{3a}x+\frac{c}{3a}=0 \end{eqnarray*}$ .

Hier ist dann $\begin{eqnarray*} p=\frac{2b}{3a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=\frac{c}{3a} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2}=\frac{ \frac{2b}{3a}}{2}=\frac{2b}{6a} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \left( \frac{p}{2} \right)^2=\frac{4b^2}{36a^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ikakika
nennergleich wäre es ja dann 1/3b² / 3a² - c/3a

Das verstehe ich nun gar nicht.....

Zitat:

Original von ikakika
also x1 und x2 sind ja die einzelnen extrema oder nicht? und die habe ich dann r und s genannt.

Okay, ist richtig, x_1 und x_2 sind die beiden Extrema.

Ich würde aber vorschlagen, wir bleiben dabei, die in abhängigkeit von a,b und c zu schreiben, weil unser
Wendepunkt gleich noch dazu kommt.

11.01.2011, 21:11

ikakika

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ok...
aber heißt es nicht in der pq-Formel -(p/2)²
mit "-" davor??
anschließend hast du geraten in der Wurzel alles nennergleich zu machen,
also habe ich den gemeinsamen nenner von 36 und 3 gesucht => 3.
anschließend habe ich 4b²/36² durch 12 geteilt und (1/3b²)/ 3a kam herraus.

x1,2= -2b/6a+- wurzel aus (1/3b²)/3a² - c/3a

PS: wie lange bleibst du noch wach??

11.01.2011, 21:18

lgrizu

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Zitat:

Original von ikakika
ok...
aber heißt es nicht in der pq-Formel -(p/2)²
mit "-" davor??

Nein, die pq-Formel lautet:
$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \Rightarrow -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{2}-q} \end{eqnarray*}$ , kann man sich auch ganz schnell herleiten mit quadratischer Ergänzung.

Zitat:

Original von ikakika
anschließend hast du geraten in der Wurzel alles nennergleich zu machen,
also habe ich den gemeinsamen nenner von 36 und 3 gesucht => 3.

Der gemeinsame Nenner von 36a² und 3a ist nicht 3a, kann es auch nicht sein, denn wir suchen für den
Hauptnenner das kgV der beiden Nenner, also in diesem Fall kgV(3a,36a²), und das ist welches?

Zitat:

Original von ikakika
PS: wie lange bleibst du noch wach??

k.A., muss gleich erst mal was essen und morgen um 8 an der Uni sein.

11.01.2011, 21:24

ikakika

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kgV..kenn ich nicht....hmm..."12a" dazu multiplizieren? um von 3a auf 36a² zu kommen?
hmm...wäre nämlich toll wenn ich das heute noch gelöst kriege weil ich das bis morgen brauche :S ich kann mich ja meinetwegen die ganze nacht da reinhängen aber ohne hilfe komm ich da nicht weiter :S

11.01.2011, 21:26

lgrizu

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Mit 12a multiplizieren ist richtig, jetzt fasse mal geschickt zusammen, das macht uns das berechnen der Intervallmitte einfacher.

kgV ist das kleinste gemeinsame Vilefache, sollte man aus der 5. Klasse kennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2011, 21:29

ikakika

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achsooo kgV die abkürzung kannt ich nicht^^
hmm..ich glaub ich bin blöd...
muss ich jetzt zu JEDEM nenner 12a dazumultiplizieren oder nur zu 3a? oder 36a und 3a?

11.01.2011, 21:31

ikakika

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x1,2= 2b/6a +- wurzel aus 4b²-c ??

11.01.2011, 21:32

ikakika

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wurzel aus 4b² wäre ja 2b ? und -wurzel aus c

11.01.2011, 21:34

lgrizu

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Wir betrachten einmal nur die Summe $\begin{eqnarray*} \frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c}{3a} \end{eqnarray*}$ .

Wir möchten bei beiden den gleichen Nenner erzeugen, also $\begin{eqnarray*} \frac{4b^2}{36a^2}-\frac{c \cdot 12a}{3a \cdot 12a} \end{eqnarray*}$ Wenn wir bei $\begin{eqnarray*} \frac{c \cdot 12a}{3a \cdot 12a} \end{eqnarray*}$ die 12a herauskürzten so hätten wir unseren alten Bruch.

Jetzt fasse das mal zusammen.

11.01.2011, 21:42

ikakika

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hmm... der bruch fällt weg?
bleibt wurzel aus 4b² - 12ca..
4b - wurzel aus 12ca?

11.01.2011, 21:53

lgrizu

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Nein, der Bruch fällt nicht weg, wie kommst du auf die Idee?

Nun konzentrier dich mal, wir haben:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{2b}{6a} \pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{12ac}{36a^2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man in der Wurzel zusammenfassen und aus dem Nenner die Wurzel ziehen und wieder alles zusammenfassen.

11.01.2011, 21:59

ikakika

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wurzel aus b²/3a² - ca/9a²
mit /12 und/4 gekürzt...?

11.01.2011, 22:00

ikakika

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wurzel aus dem nenner 3a² wäre ja 1,7a und aus 9a² 3a?

11.01.2011, 22:05

lgrizu

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Mit Bruchrechnung sieht es nicht ganz so gut aus, oder?

Ich fasse das mal eben zusammen und hoffe, du kannst es nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2b}{6a} \pm \sqrt{\frac{4b^2}{36a^2}-\frac{12ac}{36a^2}}=-\frac{2b}{6a} \pm \sqrt{\frac{4b^2-12ac}{36a^2}}=-\frac{2b}{6a} \pm \frac{\sqrt{4b^2-12ac}}{\sqrt{36a^2}} =\frac{-2b \pm \sqrt{4b^2-12ac}}{6a} \end{eqnarray*}$ .

So, nun berechnen wir esrt mal die Wendestelle.

Dazu 2-te Ableitung gleich null setzen, was kommt heraus?

11.01.2011, 22:10

ikakika

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ich habe dich voll und ganz verstanden Big Laugh

Big Laugh

total logisch...das ich auf sowas nicht komme...liegt warscheinlich an den Winterferien oder ich weiß auch nicht...totes gehirn !?!?
wendestelle..
6ax+2b=0..
keine pq-formel..
logaritmieren?
sry..bin echt aus der übung :S
gib mir tipps Gott

Gott

11.01.2011, 22:12

lgrizu

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6ax+2b=0 ist richtig, nun einfach nach x auflösen.

Ich mach mir erst mal was zu essen, schaue aber noch mal rein.

11.01.2011, 22:14

ikakika

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6ax+2b=0 /6a
x=-2b/6a

11.01.2011, 22:18

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{2b}{6a} \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Nun noch den Intervallmittelpunkt bestimmen mit deiner Formel:

$\begin{eqnarray*} m=x_1+\frac{x_2-x_1}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn der gleich der Wendestelle ist sind wir fertig.

11.01.2011, 22:28

ikakika

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kurze zusammenfassung (mir zur hilfe) :

f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f'''(x)=6a
3ax²+2bx+c=0
X²+(2b/3a)x+(c/3a)=0
Pq-Formel: -(2b/6a) +- wurzel aus 4b²/36a² - c/3a l*12a
-(2b/6a) +- wurzel aus 4b²/36a² -12ca/36a²
-(2b/6a) +- wurzel aus (4b²-12ca)/36a²
-(2b/6a) +- wurzel aus (4b²-12ca)/ wurzel aus36a²
-(2b/6a) +- wurzel aus (4b²-12ca)/ 6a
-(2b+- wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a

Wendestelle
f''(x)=6ax+2b
6ax+2b=0
X=2b/6a

Intervallmittelpunkt
x1 is doch jetzt -(2b+ wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a
und x2 -(2b- wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a

also (-(2b+ wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a) + (-(2b- wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a)-(-(2b+ wurzel aus (4b²-12ca))/ 6a) /2

und der zähler löst sich auf (?), weil -2b und --2b löst sich und + wurzel aus (4b²-12ca) und - wurzel aus (4b²-12ca) und bleibt 0/12a (2) also = 0 (?)

11.01.2011, 22:29

ikakika

Auf diesen Beitrag antworten »

ach nee!!!
ich hab da was vergessen...mom ich rechne eben

11.01.2011, 22:34

ikakika

Auf diesen Beitrag antworten »

und der zähler löst sich auf (?), weil -2b und --2b löst sich und + wurzel aus (4b²-12ca) und - wurzel aus (4b²-12ca) und bleibt 0/12a (2) also = 0 (?)
aber da ist ja noch der bruch davor...
ach ich weiß nicht...ich bin kurz davor aber ich komm einfach nicht drauf...

11.01.2011, 22:37

ikakika

Auf diesen Beitrag antworten »

wird aus -2b+ wurzel als 4b² - 12ac / 6a nicht -2b+2b - oder + wurzel aus 12ac /6a + 0/6a/2??

11.01.2011, 22:37

ikakika

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hebst sich ja 2b auf...darf es aber eigentlich nicht...soll ja in der lösung enthalten sein

11.01.2011, 22:46

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir setzen einfach mal ein, es vereinfacht das auch, wenn du den Formeleditor verwendest.

$\begin{eqnarray*} x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}+\frac{\frac{-2b - \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}-\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das Auflösen überlasse ich jetzt dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2011, 22:51

ikakika

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hmm..
aber ist es jetzt nicht einfach so, dass sich beim 2. bruch die obersten zähler alle aufheben? dann bleibt da doch 0/6a/2 also 0/12a und vom 1. bruch würden sich -2b mit wurzel aus 4b² aufheben?
aber das macht ja i-wie keine sinn...weil ich so nicht an das ergebnis komme

11.01.2011, 22:59

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht so.

Wir betrachten einmal weiter, ich rate aber dringend, Bruchrechnen zu wiederholen, das solltets du längst können....

$\begin{eqnarray*} x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}+\frac{\frac{-2b - \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}-\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}+\frac{\frac{-2b - \sqrt{4b^2-12ac}- \left(-2b + \sqrt{4b^2-12ac} \right)}{6a}}{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} =\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}+\frac{\frac{-2b - \sqrt{4b^2-12ac}+2b - \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}}{2}=\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}+\frac{-2 \cdot \sqrt{4b^2-12ac}}{2 \cdot 6a} \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 23:03

ikakika

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-2b+2b=0 oder nicht? wieso dann -2*...

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