Beweis Konvergenz einer Folge

11.01.2011, 17:52

mu

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Beweis Konvergenz einer Folge

Meine Frage:
Hallo,
ich soll Unter Verwendung der Definition für Folgen zeigen, ob
$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{1}{n^2}})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$
divergiert oder konvergiert.

Meine Ideen:
Also die Folge konvergiert. Und zwar gegen den Grenzwert 1.
Ich habe zunächst nur
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n^2})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$
betrachtet.
Der Genzwert ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=0 \end{eqnarray*}$
Weil
$\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$
ist dies der Genzwert der Folge. Folglich konvergiert sie.
Nur wie zeige ich das mittels der Definition für Folgen?

Definition Folge:
Eine Folge heißt konvergent mit Grenzwert a, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ||a_n-a||_U = 0 \end{eqnarray*}$
oder anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N_0(\epsilon): ||a_n-a|| < \epsilon \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 17:59

tmo

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Da ihr wahrscheinlich noch nichts über Stetigkeit hattet, musst du wohl direkt die Definition von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ benutzen. Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert?

Oder du kennst schon $\begin{eqnarray*} e^x \leq \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$

Dann könntest du diese Ungleichung nutzen um die Behauptung zu zeigen.

11.01.2011, 18:13

BarneyG.

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11.01.2011, 18:20

tmo

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Zitat:

Original von BarneyG.
Oder man könnte einfach die m so wählen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} = ln(\frac{1}{m} +1) \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist n -> unendlich äquivalent zu m -> unendlich

Wenn man weiß, dass der Logarithmus stetig ist, könnte man so argumentieren. Aber dann weiß man auch, dass die Exponentialfunktion stetig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und an der Aufgabenstellung würde ich ablesen, dass so Sätze wie "Offensichtlich ist n -> unendlich äquivalent zu m -> unendlich" gar nicht gehen. Das ist eine Erstsemestervorlesung. Da ist nichts offensichtlich Big Laugh

Big Laugh

11.01.2011, 18:36

mu

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ja, es ist eine Erstsemestervorlesung

Zitat:

Original von tmo
Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert?

Bisher hatten wir nur die komplexe e-Funktion. Eine Regel war, dass $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ ist.
Deine Definition ist uns (noch) fremd.

11.01.2011, 18:41

BarneyG.

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11.01.2011, 18:42

tmo

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Ihr habt doch irgendwie den Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert. Sonst macht die Aufgabe überhaupt keinen Sinn.

Zitat:

Original von BarneyG.
Nö, davon muss ich überhaupt nichts wissen! Für einen abstrakten Beweis setze ich einfach

$\begin{eqnarray*} m := \frac{1}{e^{\frac{1}{n^2}} - 1 } \end{eqnarray*}$

Und wer sagt dir jetzt, dass $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ ist?
Du näherst dich einem Zirkelschluss. Weil du das Problem nur umlagerst, es aber nicht direkt angehst.

11.01.2011, 19:11

BarneyG.

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11.01.2011, 19:30

tmo

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Du hast vorrausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

11.01.2011, 19:41

BarneyG.

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11.01.2011, 19:43

tmo

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Zitat:

Original von BarneyG.
Setzen wir (2) in die linke Seite der Behauptung ein erhalten wir

$\begin{eqnarray*} | e^{\frac{1}{n^2}} - 1| = |\frac{1}{m} + 1 - 1| = \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$

Wir wählen nun m0 = 1/epsilon

Dann ist für m > m0

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Genau hier benutzt du, dass m gegen unendlich geht, denn sonst könntest du gar nicht folgern, dass 1/m kleiner Epsilon wird. Denn wer sagt, dass m jemals m0 übersteigt?

Ich bin vorerst aus dem Thread draußen, da ich weg muss. Wenn sich der Threadersteller nochmal meldet und sagt, wie $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ definiert wurde, können wir hier morgen gerne weitermachen.

11.01.2011, 20:01

BarneyG.

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11.01.2011, 23:18

tmo

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Was muss ich noch tun, damit du mein Anliegen verstehst? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Dann ist für m > m0

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Genau hier verwendest du doch, dass es m irgendwann größer als m0 ist. Denn ist dies nicht der Fall, so scheitert deine Abschätzung ja offensichtlich, weil dann eben nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ gesichert ist.
Da m0 aber reziprok von Epsilon abhängt und Epsilon beliebig war, kann also m0 beliebig groß werden. D.h. du verwendest hier (so dass man es nicht merkt, wenn man nicht aufpasst), dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} m = \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Und das ist dir keinesfalls gegeben und man kann es auch nicht leicht folgern. Zumindest nicht leichter als $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{n^2}} \to 1 \end{eqnarray*}$ , was ja die Behauptung war.

Letztendlich führt ohne weitere Kenntnisse (wie z.b. die Stetigkeit) kein Weg an einer geeigneten Abschätzung von $\begin{eqnarray*} e^x-1 \end{eqnarray*}$ für kleine x vorbei. Alles andere verlagert das Problem nur.

11.01.2011, 23:32

Ibn Batuta

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Mal ´ne blöde Frage, soll keine Einmischung sein.

Wieso wird die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} b_n := \frac 1 {n^2} \end{eqnarray*}$ nicht gezeigt und der Rest gefolgert?

Ibn Batuta

12.01.2011, 08:17

BarneyG.

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12.01.2011, 09:47

Ibn Batuta

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@BarneyG.:

Ah ok. Ich dachte er könne das ohne weiteres verwenden, da er in seinem Beitrag schrieb:

Zitat:

Original von mu

Bisher hatten wir nur die komplexe e-Funktion. Eine Regel war, dass $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Daher dachte ich, dass es reicht, wenn man die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac 1 {n^2} \end{eqnarray*}$ zeigt und dann nach seiner Regel folgert, dass das gegen 1 konvergiert...

Ibn Batuta

12.01.2011, 11:37

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von BarneyG.
Was muss ich tun, damit du MICH verstehst? Big Laugh

Big Laugh

tmo hat Dich schon verstanden.
Nur Du zeigst noch immer eine gewisse Beratungsresistenz.

Bei solch elementaren Beweisen muss man sehr genau aufpassen welche Erkenntnisse man einfließen lassen darf.

Du willst nämlich im Grunde genommen zeigen dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}e^x=1 \end{eqnarray*}$

und setzt dabei einfach mal voraus, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 1}\ln(x)=0 \end{eqnarray*}$

was wiederum mit gleichen Mitteln (Stetigkeit, oder Abschätzung) zu zeigen wäre.

Ohne diese Tatsache funktioniert Dein 'Beweis' nämlich nicht aber das hat tmo schon vor Stunden mehrfach vergeblich zu erklären versucht.

12.01.2011, 11:52

BarneyG.

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12.01.2011, 12:19

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von BarneyG.

Zitat:

und setzt dabei einfach mal voraus, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 1}\ln(x)=0 \end{eqnarray*}$

Huch? Da kann ich mich gar nicht entsinnen, dass ich sowas vorausgesetzt habe! geschockt

geschockt

Explizit nicht aber implizit schon, denn ohne diese Tatsache funktioniert Dein 'Beweis' nicht.

Zitat:

Original von BarneyG.
Nett, dass du eine Meinung dazu hast.

Wirklich nett wäre es wenn Du von dieser süffisant-überheblichen Art Abstand nehmen könntest, durch die Du Dich in dieser Situation ohnehin nur selbst diskreditierst.

12.01.2011, 14:12

BarneyG.

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12.01.2011, 15:31

Manni Feinbein

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@BarneyG.

Im Gegensatz zu Dir habe ich nicht das geringste Problem, da immer noch Du und nur Du es bist, der partout nicht verstehen will.
Ich mag mich aber nicht mehr wiederholen.
Und wenn massive Beratungresistenz mit penetranter Impertinenz sich paart, dann ist es Zeit sich aus dem Thema zu verabschieden. Wink

Wink

12.01.2011, 15:39

BarneyG.

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12.01.2011, 15:42

Huggy

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Zitat:

Original von BarneyG.
Jetzt liest du dir ganz in Ruhe meinen Beweis von heute Morgen nochmal durch. Der besteht aus vier Zeilen und jede Zeile ist eindeutig begründet.

Ich versuche das jetzt mal. Was setzt du voraus?

(1) Strenge Monotonie der e-Funktion und $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ . Aber nicht die Stetigkeit der e-Funktion. Korrekt?

(2) Definition des natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion der e-Funktion. Die Existenz der Umkehrfunktion ist wegen der strengen Monotonie der e-Funktion gesichert. Korrekt?

Wenn du sonst noch etwas über den natürlichen Logarihmus voraussetzt, musst du es sagen. Ich gehe jetzt mal nur von diesen Voraussetzungen aus. Du schreibst:

Zitat:

Sei epsilon > 0 vorgegeben.

Dann setzen wir per Definition

$\begin{eqnarray*} n_0 := \sqrt{\frac{1}{ln(\epsilon +1)} } \end{eqnarray*}$

Geht denn das? Existiert denn $\begin{eqnarray*} \ln {(1+\epsilon)} \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ? Das existiert doch nur, wenn es ein x gibt mit

$\begin{eqnarray*} e^x=1+\epsilon \end{eqnarray*}$

Kannst du du Existenz eines entsprechenden x aus deinen Voraussetzungen beweisen? Nehmen wir mal an, die e-Funktion wäre bei x = 0 unstetig und es würde gelten

$\begin{eqnarray*} e^x>2 \end{eqnarray*}$ für x > 0

Dann gäbe es $\begin{eqnarray*} \ln {(1+\epsilon)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon \in (0,1) \end{eqnarray*}$ gar nicht. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der e-Funktion hängt von dem Wertebereich der e-Funktion ab.
Da ist das Loch in deinem Beweis.

12.01.2011, 15:59

BarneyG.

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12.01.2011, 16:10

Huggy

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Zitat:

Original von BarneyG.
Man muss also etwa mindestens die Existenz der ln Funktion auf den natürlichen Zahlen voraussetzen.

Dann kann man zu epsilon eine rationale Zahl p/q < epsilon wählen und dann ln(epsilon + 1) durch ln (p/q + 1) = ln (p + q) - ln(q) ersetzen.

Wenn man für den natürlichen Logarithmus die Gültigkeit der üblichen Logarithmengesetze annimmt, dann ist das eine zusätzliche Voraussetzung. Sie folgt nicht aus der Definition als Umkehrfunktion der e-Funktion und den obigen dürftigen Annahmen über die e-Fumktion.

Zitat:

Ansonsten bin ich natürlich offen für alle Vorschläge, wie man die Konvergenz nur mit der Epsilontik allein beweisen sollte.

Bleibt z.B. der von "tmo" vorgeschlagene Weg mit der Euler'schen Ungleichung ...

Dazu müsste man halt wissen, wie die e-Funktion in der Vorlesung des Fragestellers definiert wurde und was schon über sie bewiesen wurde. Ohne das stochert man im Nebel.

12.01.2011, 23:13

tmo

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Zitat:

Original von BarneyG.
Wenn man so wenig von der ln Funktion voraussetzen kann, dann ist die Existenz von ln(epsilon + 1) natürlich nicht gesichert.

Hier hast du also deinen Zirkelschluss noch selbst gemerkt. Denn die Existenz des Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen folgt aus der Surjektivität der Exponentialfunktion. Wie würdest du diese zeigen? Ich gehe doch stark davon aus, dass du die Stetigkeit und den Zwischenwertsatz bemühen würdest Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2011, 08:01

BarneyG.

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13.01.2011, 08:26

tmo

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Da der Threadersteller sich schon lange nicht mehr gemeldet hat und es ja noch keine wirklich Komplettlösung ist:

$\begin{eqnarray*} e^\frac{1}{n^2} -1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{n^2})^k}{k!} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{n^2})^{k-1}}{k!} \leq \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} = \frac{e-1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Hier wird wirklich nichts gebracht außer eine Aussage über konvergente Reihen. Die sind aber bekannt, wenn man schon $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ als Reihe definiert hat.

13.01.2011, 08:49

Huggy

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Vielleicht sind wir alle etwas blind gewesen. Da doch n eine natürliche Zahl sein soll, muss man überhaupt nichts über die e-Funktion wissen, außer dass e eine positive Zahl ist. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{n^2}}=\sqrt[{n^2}] e \end{eqnarray*}$

Und die Eigenschaften dieser Wurzel ergeben sich aus den Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenenten.

13.01.2011, 08:55

BarneyG.

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13.01.2011, 09:18

Huggy

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Zitat:

Original von BarneyG.
Bei Huggy's Lösung hätte ich aber immer noch das Problem, das n0 in Abhängigkeit von epsilon anzugeben. Denn das war ja in der Aufgabe gefordert ...

Das ist nun wirklich kein Problem. Es sei der Fall e > 1 betrachtet. e < 1 würde ähnlich gehen. Man möchte

$\begin{eqnarray*} \sqrt [n^2] e < 1+\epsilon \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e<(1+\epsilon)^{n^2} \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} 1+n^2 \epsilon <(1+\epsilon)^{n^2} \end{eqnarray*}$

ist das bei

$\begin{eqnarray*} e<1+n^2 \epsilon \end{eqnarray*}$

erfüllt und jetzt kann man ein hinreichendes n ausrechnen.

13.01.2011, 12:51

BarneyG.

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