Lineare Algebra I - Vektorraum über K

12.01.2011, 16:11	Sub	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra I - Vektorraum über K Meine Frage: Hi ich hab die folgenden Aufgaben, die ich lösen muss, weist aber nicht was hier zu tun ist. Es sei V ein Vektorraum über K mit der Dimension n Element N. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (a) n ist eine gerade Zahl (b) Es gibt eine lineare Abbildung f : V ---> V mit Kern(f)=Bild(f). Bitte um Hilfe Meine Ideen: Ich habe leider noch keinen Ansatz
12.01.2011, 16:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Dimensionsformel für Kern und Bild?
12.01.2011, 16:27	Sub	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst: $\begin{eqnarray} \dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f) \end{eqnarray}$
12.01.2011, 16:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Yes.
12.01.2011, 16:32	Sub	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm komm noch nicht so richtig weiter kann ich zu b) sagen es sei f(x) = 0 und damit gilt es?
12.01.2011, 16:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst ja weder $\begin{eqnarray} \text{(a)} \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \text{(b)} \end{eqnarray}$ beweisen, sondern $\begin{eqnarray} \text{(a)} \ \Leftrightarrow \ \text{(b)} \end{eqnarray}$
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12.01.2011, 16:48	Sub	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich dann so argumentieren. Ich sage einfach n = 2m ist eine gerade Zahl. Nun gibt es eine Abbildung f:V--->V mit Kern(f)=Bild(f). Ich nehme mir dann eine Abbildung f(n) = n mit n = 2m und setze dort für n., 2m ein und erhalte f(n) = f(2m) = (20) = 20 = 0 mit m = 0. Somit ist doch n gerade und es gilt an der Stelle n = 2m dass, Kern(f)=Bild(f) ist.
12.01.2011, 16:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkenne hier keinen Sinn. Du beachtest ja nicht einmal, daß $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht auf den ganzen Zahlen, sondern auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ erklärt ist. Und daß du Voraussetzung und Behauptung irgendwie kenntlich machst, davon sehe ich gar nichts. Du mußt zwei Beweise führen: $\begin{eqnarray} \text{Nr. 1:} \ \ \text{(a)} \Rightarrow \text{(b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Nr. 2:} \ \ \text{(b)} \Rightarrow \text{(a)} \end{eqnarray}$ Was links vom Folgepfeil steht, ist jeweils die Voraussetzung, das rechts die Behauptung. Vielleicht beginnst du mit $\begin{eqnarray} \text{Nr. 2} \end{eqnarray}$ , das erscheint mir etwas einfacher.
12.01.2011, 17:06	Sub	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber was soll ich jetzt machen, es geht doch nur mit einem null Vektor als triviale Lösung
12.01.2011, 17:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, hier wäre es angebracht, wenn du dich zuerst um die Grundbegriffe kümmern würdest: Vektorraum, Basis, Dimension, lineare Abbildung, Bild, Kern. Ich erkenne nicht, daß du verstanden hast, was diese Begriffe bedeuten. Vorher ist es nicht sinnvoll, daß du dich weiter mit dieser Aufgabe beschäftigst.

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