Mengenoperatoren, Schnittmenge Touristen

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jockijo Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenoperatoren, Schnittmenge Touristen
Hallo,
wir haben gerade die Mengenlehre durchgenommen und nun stehe ich for folgender Aufgabe und weis nicht mehr weiter:

70 Touristen wurden an einem Urlaubsort befragt, welche der Verkehrsmittel Auto (A), Bahn (B), Flugzeug (F) sie zur Anreise benutzt haben.
Dabei ergaben sich folgende Aussagen:
20 Touristen benutzten (mindestens) das Auto.
30 Touristen benutzten (mindestens) die Bahn.
40 Touristen benutzten (mindestens) das Flugzeug.
16 Touristen benutzten (mindestens) Bahn und Flugzeug
4 Touristen benutzten (mindestens) Bahn und Auto
1 Tourist reiste mit Auto, Bahn, Flugzeug an.
12 Touristen reisten nur mit dem Auto

a) Wie viele Touristen benutzten genau 2 der 3 Verkehrsmittel?
b) Wie viele Touristen benutzten keines der genannten Verkehrsmittel?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

So, meine Überlegung bisher:



Wobei N die sind, die keine der genannten Verkehrsmittel nutzen.

Weiterhin habe ich die Gleichung:


herausbekommen. Danach habe ich konkerete Werte eingesetzt:




So und jetzt komme ich nicht mehr weiter, ich habe ja noch 2 Variablen in der Gleichung, deswegen müsste ich doch noch eine 2te Gleichung irgendwie bekommen, damit ich das irgendwie auflösen kann oder irre ich mich da??
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenoperatoren, Schnittmenge Touristen
Zitat:
Original von jockijo
So, meine Überlegung bisher:



Wobei N die sind, die keine der genannten Verkehrsmittel nutzen.


Die Übersetzung der Mengenangaben in Mengenalgebra sind schon mal in Ordnung.

Ich schlage vor, Du skizzierst jetzt die Mengen A, B und F als Venn-Diagramm und trägst die Zahlenangaben, die Du bisher ermittelt hast dort ein. Im weiteren Verlauf kannst Du dann weitere ermittelte Werte dort Schritt für Schritt eintragen. Für die Übersicht wird das am sinnvollsten sein. Falls Du ein Programm zur Verfügung hast, mit dem Du einfache Skizzen erstellen kanst, kannst Du ja das Venn-Diagramm auch als Dateianhang hier im Thread darstellen.

Nachfolgend formulieren wir erstmal die Fragen zu Aufgabenteil a) in mengenalgebraische Formeln um.

Ich benutze dazu die weitere Operation "ohne" und verwende dafür das Symbol "-". Als Beispiel: Sei X = {1, 2, 3, 4, 5} und Y = {4, 5, 6, 7, 8}. Es gilt dann X - Y = {1, 2, 3}, also die Elemente aus X, die nicht gleichzeitig auch Elemente von Y sind. Hinweis: Zwischen Mengen bedeutet das Symbol "-" die Operation "ohne", zwischen Zahlen (also z.B. zwischen den Elementanzahlen |X| von Mengen) bedeutet es "minus"!

Die Angaben kannst Du für Aufgabe a) dann folgendermaßen formulieren, z.B. Personen, die genau mit Auto und der Bahn anreisen, als .

Um die Anzahl der Personen in dieser Menge zu berechnen, beachte die allgemeine Formel .

Dies berechnest Du jetzt für alle unter a) angegebenen Mengen!
So bekommen wir Schritt für Schritt alle Mengenangaben und können diese in das Venn-Diagramm eintragen.
jockijo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab das jetzt mal ausprobiert und 18 rausbekommen, die Lösung meint aber, dass es 22 sein sollen :S
Habe mal das hier eingescannt mit meinem Venndiagramm.
[attach]17559[/attach]
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenoperatoren, Schnittmenge Touristen
Bis dahin korrekt!
Nur hast Du etwas vergessen. Was ist im Diagramm mit dem Eckchen im Kreis A zwischen den Beschriftungen 12 und 1, also der Menge der Personen, die nur mit Auto und Flugzeug anreisen:

Rechne das noch aus und a) ist gelöst!
jockijo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht Null? Weil es gibt ja niemanden, der mit Auto und Flugzeug reist, gibt ja nur einen Typ, der alle 3 Verkehrsmittel benutzt, sonst gibt es ja nur die Kombination von Bahn und Flugzeug, Bahn und Auto (So steht es doch im Aufgabentext oder hab ich da was übersehen?)
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nur nicht im Aufgabentext erwähnt!
Es folgt aber rein logisch aus den im Aufgabentext aufgestellten Vorgaben.

Etwas was aus vorgegebenen Sätzen folgt, muß ja nicht in den Vorgaben aufgeführt werden.

Jetzt rechne einfach mal aus, wieviele Personen genau mit Auto und Flugzeug anreisen, dann siehst Du, daß alles zusammenpasen wird!

Danach machen wir dann b).
 
 
jockijo Auf diesen Beitrag antworten »

Wow das gibts ja nicht, das stimmt ja wirklich, darauf wäre ich ja nie gekommen^^
Muss man solche Sachen immer annehmen, dass solche Kombinationen möglich sind, wenn sie nicht angegeben sind?

Wenn ich mir jetzt aber den Aufgabenteil b) anschaue, komme ich bei meiner Rechnung auf |N|=0 raus,

da Nur F wäre ja 40-15-4-1 = 24
und nur B wäre dann ja 30-15-1-3=11

So, wenn ich aber die einzelnen Felder im Venn-Diagramm zusammenzähle, ergibt das bei mir 70, und wenn 70 Leute befragt wurden kann doch keiner mehr in N sein?
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jockijo
Wenn ich mir jetzt aber den Aufgabenteil b) anschaue, komme ich bei meiner Rechnung auf |N|=0 raus,

da Nur F wäre ja 40-15-4-1 = 24
und nur B wäre dann ja 30-15-1-3=11

So, wenn ich aber die einzelnen Felder im Venn-Diagramm zusammenzähle, ergibt das bei mir 70, und wenn 70 Leute befragt wurden kann doch keiner mehr in N sein?


1.)
"Nur F" ist falsch gerechnet!
"Nur B" ist korrekt!
"Nur A" ?


2.)
Um N zu berechnen brauchst Du zunächst , dann gilt . So etwas Ähnliches hast Du ja schon in Deiner ursprünglichen Frage aufgestellt.

Wenn Du jetzt die Anzahlen aller Felder im Diagramm addierst, so wirst Du, nachdem Du 1) korrigiert hast, ausrechnen können.

Mach das mal! Und achte darauf, welche Felder aus dem Diagramm Du verwendest - da kann man sich leicht vertun!

Wenn Du ein Ergebnis hast, dann sende bitte nicht nur dieses Endergebnis, sondern führe alle Felder über ihre jeweiligen Mengenverknüpfungen (z.B. (A - B) - F) zusammen mit ihrer Anzahl einzeln auf. Ansonsten kann ich ja, falls unsere Ergebnisse von einander abweichen, nicht sehen, wo Du einen Fehler hast.
jockijo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe das mal mit Farben gemacht, damit man es besser sieht smile
Ist die Mächtigkeit von N =4?

Wenn ja, würde mich noch eins Interessieren:
Wie könnte ich hier algebraisch die Menge "Nur A" bzw. "Nur B" bzw. "Nur F" darstellen?
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja prima! N = 4 ist korrekt!

Zitat:
Original von jockijo
Wie könnte ich hier algebraisch die Menge "Nur A" bzw. "Nur B" bzw. "Nur F" darstellen?


Ich definiere mal kurz als "nur A".

Dann gilt

oder auch

.

Meintest Du das? Für "nur B" und "nur F" entsprechend - nur die Buchstaben müssen vertauscht werden.
jockijo Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu dank dir, das hast du echt klasse erklärt Augenzwinkern
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Blumen Danke für die Blumen!

Die Aufgabe hat mir auch Spaß gemacht.
Bis bald! Wink
AlbertAugstus Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habe die Berechnung von "A geschnitten mit F, ohne B" - also nur die Personen, die genau mit Auto und Flugzeug anreisen, nicht verstanden!? Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen??

Vielen Dank schonmal im Vorraus...Ciao! Freude
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AlbertAugstus
ich habe die Berechnung von "A geschnitten mit F, ohne B" - also nur die Personen, die genau mit Auto und Flugzeug anreisen, nicht verstanden!? Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen??


Also da mußt Du Dich schon etwas klarer ausdrücken, was genau Du da nicht verstanden hast! Die Mengen und die Ergebnisse sind doch oben alle erläutert!
AlbertAugstus Auf diesen Beitrag antworten »


genau diese Berechnung kann ich auf den eingescannten Seiten leider nicht nachvollziehen.
Mir ist einfach nicht klar, wie ich auf das Ergebnis 4 komme.
Denn aus der Angabe geht ja die Menge nicht hervor, sonst hätte ich das ja so berechnen können...Ich hoffe, mein Problem ist jetzt klarer...
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