Tschebyscheff-Quadratur

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12Semester Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff-Quadratur
Hey ich habe folgendes Problem

die Approximation mit hilfe der Tschebyscheff.Polynome soll ja bekanntlich besser sein als mit Newton.Cortes, also der Err geringer

Beispielsweise beim Intervall [-1,1] für x^2 ist der exakte Wert des Integrals ja 0,666 also 2/3

Mit Tschebyscheff komm ich bei n= 2 aber auf 1,57 mit dem Fehler 0,00237
Das haut ja schonmal nicht hin.

Die Formel ist ja
pi/n+1 x Summe f(xin) für xin die Tschebyscheffpolynome-Nullstellen

bei n=2 sind meine 3 Nullstellen -+0,866 und 0

bei mir also Pi/3 x [-0,866^2 + 0,866^2 + 0 ]

Wo liegt da mein Fehler... warum berechnet sich das Integral nicht richtig?

Danke für die Hilfe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff-Quadratur
So ganz klar wird mir nicht, was du tun willst und wie du es machst. Gesucht ist eine numerische Approximation für



Nun sei . Das bedeutet bei dir also 3 Knoten (beginnend mit 0). Bei den orthogonalen Polynomen kommt noch eine Gewichtsfunktion ins Spiel. Allgemein berechnen sie Integrale der Form:



Bei Tschebyscheff gibt es eine Gewichtsfunktion. Siehe: [WS] Orthogonale Polynome

Die Knoten sind die Nullstellen des orthogonalen Polynome. Bei Tschebyscheff also:





Das stimmt mit deinen Werten überein. Bitte verwende im weiteren latex.
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das mein ich ja.
Ich verwende ja die gewichtsfunktion, die ist ja bei tschebyscheff immer gleich gegebn und somit ergibt sich ja dann auch daraus das pi/n+1 vor der summe.

Das Problem ist wenn ich das Integral mit Tschebyscheff per hand nachrechne komm ich nicht auf die 2/3 sondern auf rund 1,57.. Wo liegt da mein Fehler
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bitte verwende im weiteren latex.


Poste deine Rechnung, so dass man sie lesen kann. Augenzwinkern
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

OK,

also dass das



Jetz will ich das per Tschebyscheff weil die so schön einfach ist nachrechnen. nur halt mit der Tschebyscheff-Quadratur

Es gilt ja die Formel


mit



welche ja für die Tschebyscheffpolynome mit dehren Nullstellen steht.

Bei n=2 also



Auf den ERR geh ich jetz mal nicht ein. jedenfalls ist er sehr klein und es reicht nicht um die differenz zu erklären zwischen meinen exakten 0,666.

Was vergess ich?

Setz ich das jetzt ein erhalte ich jedoch

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff-Quadratur
Gesucht ist:

(*)



Gemacht wird ein Quadraturformelansatz: Kombination aus Funktionswerten in Knoten mal Gewichten. Die sind hier gleich groß.



Was berechnet aber dieses Ansatz? Wie ich schon sagte, nicht (*) sondern:





Wie muss man f also modifizieren?
 
 
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich wenn ich

mit der Tschebyscheff-Quadratur Intregieren will noch zusätzlich mit

multiplizieren?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du?
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie muss man f also modifizieren?


Das mein ich.
Ich steh auf dem schlauch !

Ich will doch nur mit Tschebyscheff integrieren
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte damit: Probier es doch mal aus. Augenzwinkern
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Probieren tu ich jetz schon seit 2 Tagen.

Ich habe das ganze auch schon mit anderen funktionen und mal hab ich zu große FE wie bei der


und mal zu wenige.
Man findet einfach keine Beispiele im Netz und ich komm nicht weiter.

Kann nicht einer das mal am Beispiel von vor machen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf den letzten Schritt habe ich das doch getan. Du musst nun doch nur andere Funktionswerte in die Formel einsetzen.

12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Aber wo kommen die 0,5 dann her. Bei n=3 werden da ja bestimmt nicht die 0,5 bleiben

Als Lösung ist dies ja auch noch ein ganzes Stück von dem exakten Wert entfernt.

Oder muss ich dann mein ERR auch anpassen. Wäre ja sinnvoll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir berechnen

12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Also doch. das hatte ich doch vorhin schon geschrieben.

Zitat:
Also muss ich wenn ich mit der Tschebyscheff-Quadratur Intregieren will noch zusätzlich mit multiplizieren?


hab halt nur die wurzel anders ausgedrückt und das quadrat vergessen Big Laugh .
Damit kürzt sich das denn weg und es bleibt mein


Also setz ich die nullstellen auch in ein.

mein ist dann bspw. versteh ich das so richtig!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also doch. das hatte ich doch vorhin schon geschrieben.


Sicher. Und meine Antwort darauf war eine Aufforderung, das zu machen. Augenzwinkern
12Semester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sicher. Und meine Antwort darauf war eine Aufforderung, das zu machen.


und das soll man während des verzweifelns noch verstehen Big Laugh

Danke auf jedenfall ich setz mich jetz erstmal ran und mach eine ganze Rechnung durch mit einem anderen Integral und hoff dass das dann auch klappt.

Freude
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