Münzproblem

23.11.2006, 12:46

piloan

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Münzproblem

Hi jungs
habe in stochastik immer das problem,dass ich nicht weiss mit welcher Formel ich an welches Problem rangehen muss.
Nun habe ich einen Topf mit $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Münzen.

Dieser Topf wird ausgeschuettet und die Muenzen,die mit Wappen oben liegen werden aus dem Pott entfernt.Der Rest wird wieder reingetan und die Prozedut wird wiederholt.
Sie $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ die Wk,dass der Topf nach dem k-ten Wurf leer ist.

Berechne

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } p_k \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich garnicht wie ich da vorgehen soll ...Bitte um hilfe Lehrer

Lehrer

23.11.2006, 13:17

AD

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RE: Münzproblem

Zitat:

Original von piloan
Berechne

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } x \end{eqnarray*}$

Vielleicht doch eher $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } p_k \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2006, 13:31

piloan

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ja sorry

23.11.2006, 13:37

AD

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Die Idee ist folgende: Im Gegensatz zur Beschreibung schütten wir alle $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Münzen genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal aus, sortieren sie also nicht aus, lassen auch die mit Wappen weiter drin, sozusagen "außer Konkurrenz". Die Münzen, die dann sämtlich (also $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal) "Zahl" zeigen, entsprechen genau den Rest-Münzen der von dir beschriebenen Prozedur.

Vielleicht hilft dir das schon auf die Sprünge.

23.11.2006, 14:53

piloan

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wenn ich ehrlich bin hab ich noch kein plan wie ich das angehen soll

23.11.2006, 14:56

AD

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Immer Schritt für Schritt:

1.Wie groß ist denn die Wkt, dass eine konkrete Münze bei jedem der k Versuche jeweils "Zahl" zeigt?

2.Wie groß ist dann die Wkt, dass eine konkrete Münze bei mindestens einem Versuch "Wappen" zeigt?

3.Wie groß ist die Wkt, dass alle Münzen bei jeweils mindestens einem Versuch "Wappen" zeigen?

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23.11.2006, 15:22

piloan

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zu 1.)

ich habe eine muenze und die soll immer zahl zeigen

$\begin{eqnarray*} P=(\frac{1}{2^k})^k \end{eqnarray*}$

zu 2.)
$\begin{eqnarray*} P=(\frac{1}{2^k})^{k-1} (1-\frac{1}{2^k})^1 \end{eqnarray*}$

ist das erstmal ueberhaupt richtig Hammer

Hammer

23.11.2006, 15:46

AD

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Nein, beides falsch.

Vergiss doch bei 1.) und 2.), dass wir insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Münzen haben, hier geht es doch erstmal nur um eine einzige konkrete Münze, die anderen sind da völlig egal!!! Was denkst du, warum ich das so fettgedruckt habe...

Grundregel bei vielen Problemen, und ganz besonders auch der Kombinatorik ist die Zerlegung in einfachere Teilprobleme. Also nicht gleich auf alle Münzen stürzen, sondern erstmal nur auf eine.

23.11.2006, 17:02

piloan

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RE: Münzproblem
auf ein neues

1.)
$\begin{eqnarray*} P=(\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$

zu 2.)

$\begin{eqnarray*} P=1-(\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$

zu 3.)

$\begin{eqnarray*} P=(1-(\frac{1}{2})^k)^{2^k} \end{eqnarray*}$

gruß

23.11.2006, 17:09

AD

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Prima, alles Ok. Freude

Freude

Und jetzt nur noch der Grenzwert.

23.11.2006, 17:17

piloan

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hi

das is ja schon ma super

und nu

$\begin{eqnarray*} lim_{k \to \infty} ~ P=(1-(\frac{1}{2})^k)^{2^k} =1 \end{eqnarray*}$

und das wars nu ?

ne das is ja falsch was ich da mache mit dem limes

23.11.2006, 17:58

piloan

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mit dem limes bilden geht nicht so einfach traurig

traurig

23.11.2006, 19:22

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ geht, geht auch $\begin{eqnarray*} n=2^k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Wenn also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

existiert, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^k}\right)^{2^k}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

23.11.2006, 21:18

piloan

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also ist e die loesung der aufgabe ?

23.11.2006, 21:21

Mathespezialschüler

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Nein. Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ . Das geht ja auch gar nicht, weil $\begin{eqnarray*} \operatorname e>1 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} p_k\leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ...

Gruß MSS

23.11.2006, 21:26

piloan

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kann schon nicht mehr schreiben was ich denke ...meinte 1/e

23.11.2006, 21:43

pokerman

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bingo

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