Endomorphismus

13.01.2011, 16:44

Gosslot

Endomorphismus

Meine Frage:
Ich habe hier folgende Aufgabenstellung:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und f ein Endomorphismus von V. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

$\begin{eqnarray*} i.) V = Kern(f) + Bild(f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii.) V = Kern(f) \oplus Bild(f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} iii.) Bild(f) = Bild(f^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} iv.) dim Bild(f) = dim Bild(f^2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass f linear ist und das f: V -> V.

Ich wollte jetzt zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} i.) \Rightarrow ii.) \Rightarrow iii.) \Rightarrow iv.) \Rightarrow i.) \end{eqnarray*}$

Damit würde gelten, dass alle Aussagen äquivalent sind.

$\begin{eqnarray*} iii.) \Rightarrow iv.) \end{eqnarray*}$

ist ziemlich offensichtlich. Aber mein Problem ist bei

$\begin{eqnarray*} i.) \Rightarrow ii.) \end{eqnarray*}$

Kern + Bild bedeutet ja, dass wir die Basen der beiden vereinen. Und da soll dann ja eine Basis für V herauskommen.

Kern $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ Bild bedeutet ja im Vergleich dazu, dass die beiden UVR keine Schnittmenge haben, und dann durch die Basenvereinigung eine Basis für V herauskommt.

Aber wie komme ich von der Tatsache, dass f linear ist, darauf, dass der Kern und das Bild keine Schnittmenge haben, wenn ihre Basen zusammen eine Basis von V bilden? Oder bin ich vollkommen auf dem Holzweg?

Zu Tipps von anderen Übergängen wäre ich auch dankbar, zb.:

$\begin{eqnarray*} ii.) \Rightarrow iii.) \end{eqnarray*}$

13.01.2011, 19:56

jester.

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Hallo,

benutze für $\begin{eqnarray*} (i) ~ \Rightarrow ~ (ii) \end{eqnarray*}$ folgende Tatsachen:

für ein $\begin{eqnarray*} f\in {\rm End}(V) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \dim V = \dim \ker f + \dim {\rm Bild} f \end{eqnarray*}$ und für zwei Teilräume $\begin{eqnarray*} U,W \leq V \end{eqnarray*}$ gilt stets $\begin{eqnarray*} \dim(U+W)=\dim U+\dim W - \dim U \cap W \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du aus (i) folgern, dass $\begin{eqnarray*} \dim V \cap W=0 \end{eqnarray*}$ womit (ii) folgt.

Edit: Danke für den Hinweis, @Math1986

13.01.2011, 20:13

Math1986

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Zitat:

Original von jester. und für zwei Teilräume $\begin{eqnarray*} U,W \leq V \end{eqnarray*}$ gilt stets $\begin{eqnarray*} \dim(V+W)=\dim V+\dim W - \dim V \cap W \end{eqnarray*}$ .

Kleine Korrektur: $\begin{eqnarray*} \dim(U+W)=\dim U+\dim W - \dim U \cap W \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 14:11

Gosslot

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Vielen Dank für den Tipp. Das hat mir sehr geholfen.

Bin jetzt auch schon ein wenig weiter gekommen, hänge jetzt aber bei

$\begin{eqnarray*} iv.) \Rightarrow i.) \end{eqnarray*}$

Wie folger ich aus

$\begin{eqnarray*} dim(Bild(f)) = dim(Bild(f^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = Kern(f) + Bild(f) \end{eqnarray*}$

?

Ich weiß ja, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} dim(Bild + Kern) = dim(Bild) + dim(Kern) - dim(Bild\cap Kern) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(Bild) + dim(Kern) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass wenn ich aus iv.) zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} dim(Bild\cap Kern) = 0 \end{eqnarray*}$

habe ich gezeigt, dass V = Bild + Kern.

Aber wie mache ich das?

EDIT:

Vermutlich ist mein obiger Ansatz falsch. Bin jetzt dazu übergegangen zu zeigen, dass iii.) -> ii.) -> i.) gilt.

War auch kein Problem. Was dann noch zu tun bleibt ist zu zeigen, dass aus iv.) IRGENDEINER der anderen Fälle folgt. Aber selbst da fehlt es mir an Ideen.
Hilfe^^!

14.01.2011, 16:19

turbojunge

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Tipp: $\begin{eqnarray*} Bild(f^2) \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} Bild(f) \end{eqnarray*}$

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