Integralrechnung

Neue Frage »

13.01.2011, 16:53	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe : "Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und bestimmen Sie einen Funktionsterm der Integralfunktion Jo von f zur unteren Grenze 0. Berechnen Sie dazu die Inhalte geeigneter Dreiecke,Rechtecke usw. " f(x) = 0.5x+1, den Graphen habe ich auch schon gezeichnet, das war auch kein Problem, aber wie geht es nun weiter? danke schonmal für die Hilfe
13.01.2011, 16:56	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung Dann integriere mal deine Funktionsgleichung, und dann prüfst du mittelst Dreiecken und Rechtecken ob deine Stammfunktion stimmt.
13.01.2011, 17:24	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
wie geht das denn mit dem Integrieren? wir haben das soweit ich weiß noch nicht so gemacht, fangen erst gerade damit an
13.01.2011, 17:28	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f(x) = 0.5x+1 \end{eqnarray}$ Eine Stammfunktion zu bilden ist das Gegenteil des Differenzierens, das heißt die ABleitung der Stammfunktion muss deine Funktion f(x) sein: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{4}x^2+x+C \end{eqnarray}$ C ist die Integrationskontante, differenziere mal F(x), da sollte dann f(x) herauskommen. Nun bestimmst du das bestimmte Integral von den Grenzen 0 bis 5 und verscuhts die Fläche mittels Dreiecksberechnung zu ermitteln. Beide male sollte das gleiche Ergebnis herauskommen.
13.01.2011, 17:34	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, wenn ich so frage, aber wie bist du auf $\begin{eqnarray} F(x)=x^2+x+C \end{eqnarray}$ gekommen? und was ist eine $\begin{eqnarray} F(x)=x^2+x+C \end{eqnarray}$ ? sry steh grade aufn schlauch
13.01.2011, 17:38	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Stammfunktion mittels Integrationsregeln gebildet, F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Mit dieser Stammfunktion lassen sich Flächen- und Volumenberechnungen durchführen. Da das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist, differenziere einfach mal F(x), F'(x) wird dann nämlich f(x) sein. C ist die Integrationskonstante, da beim ableiten ja das Absolutglied wegfällt. Das heißt es gibt unendlich viele Stammfunktionen.
Anzeige

13.01.2011, 17:45	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich aber von $\begin{eqnarray} F(x) = x²+x+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x) \end{eqnarray}$ bilde kommt da raus $\begin{eqnarray} F'(x) = 2x+1 \end{eqnarray}$
13.01.2011, 17:54	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hab ich wohl glatt einen Fehler gemacht. Werde ich mal korrigieren, oder kannst du mir sagen was ich ändern muß?
13.01.2011, 18:15	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
möglicherweise müsste man schreiben $\begin{eqnarray} 0.25x²+x+C \end{eqnarray}$
13.01.2011, 18:17	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, na dann bestimme mal das Integral von -0,5 bis 4.
13.01.2011, 18:21	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ok mach ich mal ^^ aber warum von -0,5 an? 4 ist dann doch ne willkürlich gewählte zahl?
13.01.2011, 18:22	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja willkürlich gewählt, denn du willst es doch nachher mittels Dreiecksberechnung überprüfen.
13.01.2011, 18:23	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ok und muss ich das jetzt mit der Stammfunktion machen? oder mit f(x) ? sorry ich habs echt nich so mit mathe ^^
13.01.2011, 18:26	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fläche berechnet sich mit der Stammfunktion, habe ich oben bereits erwähnt. $\begin{eqnarray} A=\int_a^b F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ Was kommt da als Ergebnis raus?
13.01.2011, 18:32	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=\int_4^-1 F(-1)-F(4)= -5 \end{eqnarray}$
13.01.2011, 18:35	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt aber nicht
13.01.2011, 18:39	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich das noch etwas umstellen ? also so -> $\begin{eqnarray} A=\int_4^-1 -(F(b)-F(a)) \end{eqnarray}$ = -3
13.01.2011, 18:41	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
aber das kann auch nicht stimmen
13.01.2011, 18:45	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ach quatsch, hab auch den falschen Wert eingesetzt -> $\begin{eqnarray} A=\int_-0.5^4 F(4)-F(0.5)= 3.5 \end{eqnarray}$
13.01.2011, 18:46	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(-0,5)=\frac{1}{4}\cdot 0,25-0,5= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(5)=\frac{1}{4}\cdot 25+5= \end{eqnarray}$
13.01.2011, 18:48	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
wie komme ich jetzt auf deine Lösung? ich sollte doch von -0,5 bis 4 machen?
13.01.2011, 18:55	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben eine ganz einfache Funktion, die sich f(x) nennt. Mithilfe der Integralrechnung und durch Dreiecksberechnungen sollen wir die Ergebnisse überprüfen. Als erstes berechnen wir die Stammfunktion die nötig ist um die Fläche zu berechnen: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{4}x^2+x+C \end{eqnarray}$ Das bestimmte Integral ist die Fläche, diese berechnet man so: $\begin{eqnarray} A=\int_a^b F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ Flächen sind immer positiv, das bestimmte Integral kann aber auch negativ sein, dies nur als Hinweis am Rande. NUn berechnen wir mal das Integral der Funktion f(x) mithilfe der Stammfunktion im Intervall I[a\|b], a=-2 b=5 $\begin{eqnarray} F(a)=1-2=-1<br /> F(b)=6,25+5=11,25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\int_a^b F(a)-F(b)=11,25-(-1=12,25 \end{eqnarray}$
13.01.2011, 19:02	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ja langsam verstehe ich das, danke für deine Hilfe, aber warum steht da jetzt -> $\begin{eqnarray} F(a)=1-2=-1<br /> F(b)=12,5+5=17,5 \end{eqnarray}$ ?
13.01.2011, 19:06	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze für x die Werte von a und b ein.
13.01.2011, 19:08	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh ok da stand -2 meine augen sind so schlecht, dass sie das nicht gesehen haben ja ok, dann hab ich das jetzt verstanden. Und was muss man jetzt tun?
13.01.2011, 19:10	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt verwendest du die gleichen Grenzen und machst es mittels Dreiecksberechnung. Das ist ja deine Aufgabe. Das machst du noch mit ein paar anderen Grenzen und du hast deine Aufgabe erledigt.
13.01.2011, 19:13	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also muss ich jetzt im integral 2/5 den Graphen mit Dreiecken unterteilen und das dann ausrechnen?
13.01.2011, 19:16	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten, das ist zum einen die Differenz von a und b, das sind 7, und die andere Kathete sind die Funktionswerte an den beiden Stellen. Verstehst du, wir haben die Fläche unter der Funkionskurve berechnet: $\begin{eqnarray} A=y \cdot x/2= \end{eqnarray}$
13.01.2011, 19:21	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, aber ich versteh das nicht, du erklärst das bestimmt gut, aber ich checks nicht
13.01.2011, 19:25	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe du hast dir mal deine Funktion f(x) gezeichnet, dieser Graph hat doch bei -2 ein Schnittpunkt. Dort gehts du jetzt waagerecht bis zur x-Koordinate x=5. Das ist die eine Kathete des Dreiecks, ab jetzt senkrecht mit dem Stift bis du den Graphen f(x) schneidest. Das ist die zweite Kathete. Mit diesen beiden Katheten kannst du per Dreiecksberechnung die Fläche von diesem berechnen. Wir haben die gleiche Fläche gerade mit dem Integral berechnet
13.01.2011, 19:34	xXDaveXx	Auf diesen Beitrag antworten »
achsooo, jaa verstehe jetzt $\begin{eqnarray} A=\int_-2^7 F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ (7*3,5)/2 = 12,25
13.01.2011, 19:36	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, prima. Jetzt suchst du dir noch andere Grenzen, also a und b für welche du den Flächeninhalt berechnen möchtest und prüfst es dann wieder mit der Dreiecksberechnung und Rechtecken.

Neue Frage »

Antworten »

Integralrechnung

Verwandte Themen