Ableitung mehrdim. Fktn.

13.01.2011, 18:43

tohuwabou

Ableitung mehrdim. Fktn.

Hi Matheboard,

ich hab hier gerade im Buch vor mir eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^THx+b^Tx \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=Hx+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x)=H \end{eqnarray*}$

Jetzt ist meine Frage, ob es dafür auch einfache Merkableitungsregeln gibt, oder ob man immer den umständlichen Weg über Ausschreiben der Ausdrücke und dann ableiten gehen muss?

13.01.2011, 18:54

tohuwabou

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RE: Ableitung mehrdim. Fktn.
Bei so einfachen Funktionen wie

$\begin{eqnarray*} f(x)=<x,x>=x^2 \end{eqnarray*}$ kann man die normalen Regeln anwenden?

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=2x \end{eqnarray*}$ Ist ja jedenfalls richtig. Aber wie sieht das bei sowas aus

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^THx \end{eqnarray*}$

13.01.2011, 19:10

system-agent

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Die Frage ist eben was über $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ bekannt ist. Ansonsten kannst du auch den Weg über die Definition der Ableitung gehen um das Differential an einem Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auszurechnen.
Sei $\begin{eqnarray*} h\neq0 \end{eqnarray*}$ klein [das heisst $\begin{eqnarray*} \|h\| \end{eqnarray*}$ ist klein bzgl irgendeiner Norm]. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} g(p+h)=(p+h)^TH(p+h)=? \end{eqnarray*}$

13.01.2011, 19:31

tohuwabou

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In diesem Fall ist H symmetrische nxn Matrix. Ich wüsste mir jetzt nur zu helfen, indem ich mir die Vektoren und die Matrix hinschreib, ausmultipliziere und dann ableite. Anschließend dann wieder ausklammer. Z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=(2x_1,2x_2,...,2x_n)^T=2x \end{eqnarray*}$

Aber so ist es ja verdammt umständlich , wenn die Funktion nicht so übersichtlich ist.

Deine Hilfe versteh ich nicht. Wie sieht denn diese Definition aus. Ich find die nicht verwirrt

Ich will auch allgemein den Nabla Operator berechnen und nicht nur in einem Punkt, aber zu wissen, wie das geht ,kann ja nicht schaden Augenzwinkern

||h|| klein, damit es in einer direkten Umgebung von p liegt?

13.01.2011, 19:33

system-agent

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Zitat:

Original von tohuwabou
||h|| klein, damit es in einer direkten Umgebung von p liegt?

Ja, genau.

Hier habe ich mich mal über das Differential ausgelassen.

13.01.2011, 20:54

tohuwabou

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Danke für den Link.

14.01.2011, 13:11

tohuwabou

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Kann man grundsätzlich sagen

$\begin{eqnarray*} \nabla (x^TAx)=2Ax \end{eqnarray*}$ ? Für eine beliebige Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{nxn} \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 13:42

system-agent

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Nein. Ein Gegenbeispiel wäre $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du brauchst dafür eine symmetrische Matrix.

14.01.2011, 16:05

tohuwabou

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Ahh, super danke Wink

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