nullstellen, extrema, wendepunkte: kurvendiskussion |
13.01.2011, 19:05 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nullstellen, extrema, wendepunkte: kurvendiskussion wie im titel schon zu erkennen, muss ich mir eine kurvendisskussion erarbeiten. also los gehts: f(x)= 1/8(3x^4 - 8x³ +16) tipp vom lehrer : mit polynom division arbeiten !(?) ich hab da mathe-verständnis-probleme ;/ -> ich weiß, dass polynom division mit ausprobieren ist, dennoch weiß ich nicht wo und was?? Meine Ideen: extrema: 1. Notw. Bedingung : f'(x)=0 ; 2. Hinr. Bed.: f''(x) < 0 Hochpunkt/ f''(x)> 0 tiefpunkt ich würde zuerst die 1. abltung bestimmen -> weiß aber nicht was als 1. Ableitung rauskommt?? da ist das problem (u.a), wenn ich die hätte würde ich diese f'(x) = 0 setzen. und danach weiß ich einfach nicht weiter ?? |
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13.01.2011, 19:07 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: nullstellen,extrema, wendepunkte ?? kurvendisskussion Musst du auch die Nullstellen bestimmen? Ableiten kannst du hier ganz normal mit der Potenzregel, die 1/8 schreibst du einfach als konstanten Faktor vor die Ableitung (Klammer dann aber nicht vergessen, alles wird mit 1/8 multipliziert). Als mögliche Nullstelle kommen alle (ganzzahligen) Teiler von 16 in Frage. |
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13.01.2011, 19:14 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok erstmal danke bis jetzt ;D und aso stimmt ich muss gar keine nullstellen bestimmen ...hehe ok also ist es dann ausmultiplizieren ? danach kann ich dann erst die 1. ableitung herführen oder? |
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13.01.2011, 19:19 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst nicht ausmultiplizieren. Denn 1/8 wird ja als konstanter Faktor immer mitgeführt, auch beim Ableiten. Als Vergleich: g(x) = 5(x²+2x) [= 5x² + 10x] g'(x) = 5(2x+2) [= 10x + 10] Siehst du? Und mit 1/8 funktioniert erst genauso. Du kannst es also als ausgeklammerten Faktor davorlassen, ist mMn übersichtlicher. |
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13.01.2011, 19:26 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aso, heißt es dann : f'(x) = 1/8 (12x³ - 24x²) ? |
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13.01.2011, 19:29 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt tritt der angenehme Nebeneffekt ein, dass wir kein absolutes Glied mehr haben und überhaupt keine Polynomdivision brauchen! =) Daher vermute ich fast, dass auch die Nullstellen bestimmt werden sollen, weil das eigetnlich zu jeder Kurvendiskussion dazu gehört. Aber wir können uns ja erstmal um die Extremstellen kümmern. Wie sieht also nun die notwendige Bedingung für Extremstellen aus? |
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13.01.2011, 19:30 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann wären die anderen ableitungen so (?): f''(x)=1/8 (36x² - 48x) f'''(x) = 1/8 (72x - 48) wenn es richtig ist habe ich es gott sei dank verstanden mit den ableitungen xD |
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13.01.2011, 19:31 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
notwe.: f'(xE)= 0 |
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13.01.2011, 19:43 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau richtig. Jetzt ermittle die möglichen Extremstellen. |
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13.01.2011, 19:50 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also muss ich jetzt die erste ableitung = 0 setzen, und dann umstellen oder wie ? mathe kann doch nicht so schwer sein ...uff *übrigens danke , dass du dir die zeit nimmst |
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13.01.2011, 19:51 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, in f'(xE)= 0 statt f'(xE) den Term für die erste Ableitung einsetzen und nach xE auflösen. |
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13.01.2011, 20:15 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hat n bissn länger gedauert bis ichs gerafft hab ^^" es kommt raus: xE= 2 gibts dann nur ein wert oder auch -2? |
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13.01.2011, 20:27 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt 2 Lösungen, aber die zweite ist nicht -2 Warum schreibst du nicht einfach mal deinen Rechenweg hier auf und wir schauen wo die Zweitlösung "verschwunden" ist ? /E : Sorry, hatte den Exponent 3 unterschlagen. |
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13.01.2011, 20:32 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok: f'(x) = 1/8(12x³-24x²) 0 = 1/8(12x³-24²) 0 = 3/2 x³ - 3x² /: x² -> der fehler könnte hier liegen -.-" 0 = 3/2 x - 3 /+3 3 = 3/2 x /: 3/2 2 = x |
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13.01.2011, 20:46 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz genau, du musst an dieser Stelle eine Fallunterscheidung machen : Entweder x²=0 (Das kann man hier ausklammern) oder x-2 (man kann durch 12 teilen) = 0. Dementsprechend kommen dann als Lösungen 0 und 2 raus. Leichter geht es übrigens, wenn du am Anfang durch 1/8 teilst und durch 12, dann hast du keine Brüche, sondern ganz einfache Zahlen. |
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13.01.2011, 21:00 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
heißt dann also : xE1= 2 und xE2= 0 => 2 extremstellen in jeweils die 2. ablt. einsetzen ? und ausrechen und gucken , ob es dann "< 0" oder "> 0" ist , |
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13.01.2011, 21:06 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz genau. Die Funktion kann also sowohl bei 0 wie auch bei 2 ein Extremum haben. Ob sie das wirklich hat, überprüfst du mit der hinreichenden Bedingung. |
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13.01.2011, 21:17 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f"(x) = 1/8(36x²- 48x) f"(O) = 1/8 (36*0² - 48*0) = 0 -> kein extremum f"(2) = 1/8 ((36*2²) - (48*2)) = 6 > 0 => Tiefpunkt bzw. Minimum -> hinr. bed: f"(xE) (ungleich) 0 bzw: f"(xE)<0 hochpunkt bzw. maximum f"(xE) >0 tiefpunkt bzw. minimum hoffe es ist richtig |
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13.01.2011, 21:24 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, stimmt genau, wenn man es ganz genau nimmt, besteht die hinreichende Bedingung aus der notwendigen Bedingung und zusätzlich dem, was du als hinreichende Bedingung formuliert hast. Also hinreichende Bedingung: Was liegt also an der Stelle 0 vor? (Es ist kein Extrempunkt, aber die 1. Ableitung ist 0)? |
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13.01.2011, 21:29 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
heißt also ich hab die extremstellen und den tiefpunkt herausgefunden und muss jetzt die wendepunkte berechnen ....ein langer weg , der ist ja gar nicht so schwer |
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13.01.2011, 21:33 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht. Du hast die beiden möglichen Extremstellen ermittelt. Davon ist aber nur 2 tatsächlich Extremstelle, bei 2 liegt ein Minimum vor. Für 0 ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt, daher ist dies keine tatsächliche Extremstelle. Hier hat die Funktion einen Sattelpunkt, das ist ein Wendepunkt , in dem die Funktion die Steigung 0 hat (daher auch f'(0) = 0). Wendestellen geht im Prinzip genauso, nur dass du "eine Ableitung weiter springst". |
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13.01.2011, 21:41 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich brauch dann die 0 nicht mehr oder? war doch sogesagt nur ein kandidat |
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13.01.2011, 21:52 | Koi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so wir brauchen ja noch einen punkt für den tiefpunkt also y-koordinate und müssen die 2 (extremstelle) in die ausgangsgleichung einsetzen oder? |
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13.01.2011, 22:16 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Und das mit der 0 stimmt auch. |
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