Zeigen, dass Menge kein Vektorraum ist

14.01.2011, 08:36

EinGast

Zeigen, dass Menge kein Vektorraum ist

Ich soll zeigen, dass die Menge der reellen Funktionen $\begin{eqnarray*} M := \{f\ |\ \text{f reelle Fkt.}\} \end{eqnarray*}$ mit der bekannten Addition und Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Mir will nicht einleuchten, warum die Menge der reellen Funktionen kein VR sein soll. Mit welcher Definition eines VRs gibt's denn da Probleme?

Assoziativität bzgl. Addition gilt.
Nullelement bzgl. Addition existiert (0).
Inverses Element bzgl. Addition existiert ( $\begin{eqnarray*} -f(x) \end{eqnarray*}$ ).
Kommutativität gilt.

Und die anderen 4 Axiome gelten doch auch alle. Was übersehe ich?

14.01.2011, 10:40

Math1986

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Versuch mal, zu begründen, wieso die einzelnen Axiome gelten, dann kann ich dir deinen Denkfehler sagen

14.01.2011, 17:04

Elvis

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Wo sind die reellen Funktionen definiert ? In einem Punkt ? Auf einem Intervall ? Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? f hier und g dort ? Oder was ?

14.01.2011, 21:39

EinGast

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Zitat:

Original von Elvis
Wo sind die reellen Funktionen definiert ? In einem Punkt ? Auf einem Intervall ? Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? f hier und g dort ? Oder was ?

Ja, der DB hat den Unterschied gemacht. Der war zwar nicht explizit angegeben, aber die Addition war folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) := f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in (D(f) \cap D(g)) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} (f(x) + g(x)) - g(x) \neq f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (D(f) \cap D(g)) \subsetneq D(f) \end{eqnarray*}$

Wobei ich das auch nur teilweise verstehe. Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} f(x) := x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} (x + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ohne 0 und von dem, was rechts steht, ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Aber auf der linken Seite lässt sich das "1 durch x" doch wegkürzen. Dann steht da wieder $\begin{eqnarray*} x = x \end{eqnarray*}$ und dann stimmten rechte und linke Seite (inkl. DB) doch wieder überein. Also so ganz verstehe ich das nicht.

14.01.2011, 22:21

Kimi_R

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Zitat:

Original von EinGast

Zitat:

Original von Elvis
Wo sind die reellen Funktionen definiert ? In einem Punkt ? Auf einem Intervall ? Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? f hier und g dort ? Oder was ?

Wo steht denn, das aus der Definition $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) := f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in (D(f) \cap D(g)) \end{eqnarray*}$
folgt, dass $\begin{eqnarray*} (f(x) + g(x)) - g(x) \neq f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} (D(f) \cap D(g)) \subsetneq D(f) \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 22:39

EinGast

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In der Musterlösung.

15.01.2011, 09:58

Elvis

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Das Beispiel $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R,f(x)=x;g:\mathbb R\setminus \{0\}\to \mathbb R,g(x)=1/x \end{eqnarray*}$ zeigt ganz gut, warum die Menge der reellen Funktionen kein Vektorraum sein kann. Die Summe $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. Der Begriff "reelle Funktion" ist zu unscharf, denn er macht nur eine Aussage über den Wertebereich der Funktion, nicht über den Definitionsbereich der Funktion.
In der Analysis definiert man reelle Funktionen auf einem Intervall I, dann kann man leicht zeigen dass diese einen Vektorraum bilden. Ebenso die stetigen, differenzierbaren, integrierbaren, ...

15.01.2011, 12:47

EinGast

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Zitat:

Original von Elvis
Das Beispiel $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R,f(x)=x;g:\mathbb R\setminus \{0\}\to \mathbb R,g(x)=1/x \end{eqnarray*}$ zeigt ganz gut, warum die Menge der reellen Funktionen kein Vektorraum sein kann. Die Summe $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

Wieso denn nicht? Die Summe ist $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x \in (D(f) \cap D(g)) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Elvis
Der Begriff "reelle Funktion" ist zu unscharf, denn er macht nur eine Aussage über den Wertebereich der Funktion, nicht über den Definitionsbereich der Funktion.

Ohne explizite Angabe ist der Definitionsbereich eben allgemein $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} = D(f) \end{eqnarray*}$ .

Der Sinn der Aufgabe ist es eben auch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M := \{f\ |\ \text{f reelle Fkt.}\} \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum ist, $\begin{eqnarray*} N := \{f\ |\ \text{f reelle Fkt. mit D(f) :=}\ \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ aber doch, also die Menge der reellen Funktionen, die alle den selben Definitionsbereich besitzen.

Mir ist halt nur noch nicht das Technische klar, wieso man, falls $\begin{eqnarray*} (D(f) \cap D(g)) \subsetneq D(f) \end{eqnarray*}$ ist, schreibt: $\begin{eqnarray*} (f+g) - g \neq f \end{eqnarray*}$

15.01.2011, 14:52

Elvis

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Reelle Funktionen sind auch $\begin{eqnarray*} f_n:\{n\}_{n\in\mathbb N}\to \mathbb R, f_n(n)=n \end{eqnarray*}$ . Ihr Definitionsbereich enthält jeweils genau ein Element. Die Summe $\begin{eqnarray*} f_n+f_m \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ keine reelle Funktion.
Wäre der Raum der rellen Funktionen ein Vektorraum, müsste die Summe zweier reeller Funktionen eine reelle Funktion sein.

Zur Technik: In einem Vektorraum müsste gelten $\begin{eqnarray*} (f+g)-g=f+(g-g)=f \end{eqnarray*}$ . Das ist aber in diesem Beipiel nicht so. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert, $\begin{eqnarray*} (f+g)-g \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ .

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