Genau eine lin Abbildung

14.01.2011, 11:36

LoBi

Genau eine lin Abbildung

Seien $\begin{eqnarray*} V , W \end{eqnarray*}$ Vektorräume über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} dim V = n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Es seien $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n \end{eqnarray*}$ Vektoren in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , die nicht
unbedingt paarweise verschieden sind. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} A : V \to W \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} Av_1 = w_1,..., Av_n = w_n \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Angenommen es gäbe eine 2. Abbildung $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A'v_1=w_1,...,A'v_n=w_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} Av_1=A' v_1,...,Av_n=A' v_n \Rightarrow A=A' \end{eqnarray*}$

Das kommt mir allerdings ein wenig zu einfach vor

14.01.2011, 11:40

Math1986

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RE: Genau eine lin Abbildung

Zitat:

Original von LoBi
Mein Ansatz:
Angenommen es gäbe eine 2. Abbildung $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A'v_1=w_1,...,A'v_n=w_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} Av_1=A' v_1,...,Av_n=A' v_n \Rightarrow A=A' \end{eqnarray*}$

Das kommt mir allerdings ein wenig zu einfach vor

Prinzipiell richtiger Ansatz, aber die Gleichung muss für alle Elemente des Vektorraums gezeigt werden, nicht nur für die Basisvektoren

14.01.2011, 12:34

LoBi

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Sei $\begin{eqnarray*} v \in V, v= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} Av=A( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i)=A(\lambda_1v_1)+...+A(\lambda_nv_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_1Av_1+...+\lambda_nAv_n=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iw_i= w (\in im(A)) \end{eqnarray*}$

Dasselbe mache ich dann mit einer zweiten Abbildung $\begin{eqnarray*} A'v=\sum\limits_{i=1}^n \mu_iw_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'v=Av \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \mu_iw_i=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iw_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A'(\sum\limits_{i=1}^n \mu_iv_i)= A(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \mu_iv_i=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i \end{eqnarray*}$
Da die v_i linear unabhängig sind folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \mu_i=\lambda_i \end{eqnarray*}$

so ok ?

14.01.2011, 12:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von LoBi
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V, v= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} Av=A( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i)=A(\lambda_1v_1)+...+A(\lambda_nv_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_1Av_1+...+\lambda_nAv_n=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n \end{eqnarray*}$

Bis hier ist es ok. Wende nun auf den Vektor v die Abbildung v' an.

Zitat:

Original von LoBi
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A'(\sum\limits_{i=1}^n \mu_iv_i)= A(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \mu_iv_i=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i \end{eqnarray*}$

Warum sollte das Urbild gleich sein?

14.01.2011, 12:47

monet

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Hallo @LoBi,

ich würde dich gerne was frage. Darf ich von dir wissen, im welchen Semester
du solche Aufgaben bearbeiten musst und vllt noch was du studierst?? smile

(Leider kann ich hierzu nichts beitragen, um Dir zu helfen)

Gruß monet

14.01.2011, 13:17

LoBi

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@klarsoweit

dann würde da ja im Prinzip dasselbe stehen :
also abgekürzt $\begin{eqnarray*} A'v=\lambda_1A'v_1+...+\lambda_nA'v_n=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n; \end{eqnarray*}$

Dann kann ich doch im Prinzip so weitermachen:
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V, v= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Av=A( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i)=A(\lambda_1v_1)+...+A(\lambda_nv_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_1Av_1+...+\lambda_nAv_n=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_1A'v_1+...+\lambda_nA'v_n=A'(\lambda_1v_1)+...+A'(\lambda_nv_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =A'( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i)=A'v \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 13:37

klarsoweit

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Richtig.

14.01.2011, 13:40

LoBi

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Vielen Dank

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