Partialbruchzerlegung

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boehmer Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung
Meine Frage:
hallo,

ich brauch dringend Hilfe füe folgende Aufgaben:
unbestimmte Integrale durch Partialbruchzerlegung bestimmen

- (4x-2) / (x²-2x-63)

- (4x³) / (x³+2x²-x-2)

- (1) / (x²-a²)

Meine Ideen:
keine Idee
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung
wie geht denn die Partialbruchzerlegung ,zeig mir das mal an einem deiner Beispiele.

Ok dann gebe ich mal einen Hinweis, wir müssen als erstes den Grad des Zählers mit
dem Grad des Nenners vergleichen. Ist der Zählergrad größer oder gleich dem
Nennergrad führen wir Polynomdivision durch. Andrerseits wenn der Zählergrad
kleiner ist als der nennergrad müssen wir uns die Nullstellen des Nenners anschauen.

Bei der 2. Aufgabe wenden wir ersteinmal Polynomdivision an.
Bei Aufgabe 3 gehts so weiter:

boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

der zählergrad ist kleiner
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja bei deiner ersten Aufgabe ist der Zählergrad kleiner, deshalb müssen wir ersteinmal
die Nullstellen des Nenners, also wo liegen Polstellen ermitteln.

Für die anderen zwei Aufgaben habe ich dir in meinem letzten Beitrag bereits
Ansätze gegeben.
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

???
sorry aber ich versteh gerade echt nichts
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal von Anfang an, bei der Partialbruchzerlegung muß man zwischen den
oben angesprochenen Fällen unterscheiden:

1. Zählergrad größer oder gleich Nennergrad, deshalb Polynomdivision
2. Zählergrad kleiner Nennergrad, deshalb Bestimmung der POlstellen, heißt
wo hat der Nenner Nullstellen. Denn Division durch Null ist nicht erlaubt.

Erste Aufgabe ist:



Was ist hier der Nenner?
Welchen Grad hat der Zähler, welchen der Nenner?

Was müssen wir tun?
 
 
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

zähler ist oben
nenner ist unten

ober ist der grad größer
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zähler ist oben
nenner ist unten


Das stimmt. Freude

Zitat:
ober ist der grad größer


Aber das mußt du mir erklären, für mich ist das Quadrat im Nenner höheren Grades
nämlich zwei im Gegensatz zum Zähler wo der Grad 1 ist.
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

sorry das meine ich,

im nenner ist ein höheres x also mit quadrat
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Zähler einen geringeren Grad hat, als der Nenner müssen wir als nächsten
Schritt die Nullstellen des Nenner bestimmen.



Was erhälts du für Nullstellen?
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

wie mache ich das?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

oh wieder da, entweder mit quadratischer Ergänzung oder per p-q Formel.

p-q Formel lautet:



Das ausgerechnet ergibt



Jetzt können wir zum nächsten Schritt übergehen. Dem wirklichen, nämlich
der Partialbruchzerlegung. Dazu nehmen wir unseren Ausgangsbruch her:

boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

achso, also die 9 und 7 habe ich auch so gesehen, muss man das per pq formel machen???

und nun weiter?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

ja steht in meinem Beitrag, per p-q Formel oder quadratischer Ergänzung.

a_1 und a_2 sind Parameter die wir jetzt ermitteln müssen, nur zum Verständnis
nicht das du fragst woher kommen die auf einmal.

Jetzt multiplizierts du beide Seiten der zuletzt gezeigten Gleichung mit
(x+7) und (x-9), was bleibt dann stehen?
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

nach kürzen:

-4x-2=a1(x+7) + a2(x-9)
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Na mit dem Minus verhält es sich wie mit einer Minusklammer, ansonsten soweit
richtig. Das müssen wir jetzt noch ein bisschen umschreiben um einen
Koeffizientenvergleich durchzuführen.







Dadurch entstehen folgende Gleichungen:





Das gilt es nun zu lösen.
boehmer Auf diesen Beitrag antworten »

a1= -17/8

a2= -15/8
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das wirklich?

a2 stimmt, aber a1 ist absolut falsch
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