Ist das Dreieck rechtwinklig?

14.01.2011, 19:32

bandchef

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Hi Leute!

Folgende Aufgabe hab ich gelöst:

Zeigen Sie, dass unter Verwendung des Skalarprodukts das folgende Dreieck rechtwinklig ist.

$\begin{eqnarray*} A = (3,-2,12); B=(7,0,11); C=(6,-7,14) \end{eqnarray*}$

Ich hab dann folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = A - B = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = B - C = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = A - C = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich den $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ in die Formel für den Zwischenwinkel zweier Vektoren ein:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 = arccos \left( \frac{\vec{a} \circ \vec{c}}{ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| } \right) = 90° \end{eqnarray*}$

Ist das nun schon alles gewesen?

14.01.2011, 19:34

baphomet

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RE: Ist das Dreieck rechtwinklig?
Ja das wars, nur noch mit dem Skalarprodukt prüfen.

Kleine Anmerkung bezüglich der Richtungsvektoren, wenn du den Richtungsvektor
von $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ haben willst, heißt es immer Endpunkt minus Anfangspunkt,
würde heißen B-A.

14.01.2011, 19:36

Iorek

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Wieso wählst du dreimal $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ? Doppelbelegungen sollten vermieden werden.

Auch $\begin{eqnarray*} A-B \end{eqnarray*}$ ist falsch, was du meinst ist $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \end{eqnarray*}$ , du kannst keine Punkte addieren/subtrahieren.

Deine Rechnung hab ich jetzt nicht überprüft, der Weg ist aber richtig.

14.01.2011, 19:37

bandchef

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Sorry, Leute!

Ich glaub ich hab die Aufgabe falsch abgeschrieben. Sie sollte so lauten:

Hi Leute!

Folgende Aufgabe hab ich gelöst:

Zeigen Sie, dass unter Verwendung des Skalarprodukts das folgende Dreieck rechtwinklig ist.

$\begin{eqnarray*} A = (3,-2,12)^T; B=(7,0,11)^T; C=(6,-7,14)^T \end{eqnarray*}$

Stimmt dann trotzdem meine oben gerechnete Aufgabe noch?

14.01.2011, 19:38

Iorek

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Wo ist denn der Unterschied zu ersten Aufgabe? verwirrt

14.01.2011, 19:38

bandchef

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Das es oben ein Punkt ist und unten sind es Vektoren?

14.01.2011, 19:39

baphomet

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Erkenne da kein Unterschied, du hast die Aufgabe m.E. richtig gelöst, oder sagen
wir den richtigen Ansatz gewählt.

Wenns schon Vektoren sind brauchst du diese nicht erst aufstellen, sondern kannst
gleich das Skalarprodukt anwenden. Doch Vektoren werden doch üblicherweise
beosnders gekennzeichet, sehe ich bei deiner Schreibweise nicht.

14.01.2011, 19:41

bandchef

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Danke für eure Hilfe!

Zitat:

Ja das wars, nur noch mit dem Skalarprodukt prüfen. Kleine Anmerkung bezüglich der Richtungsvektoren, wenn du den Richtungsvektor von $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ haben willst, heißt es immer Endpunkt minus Anfangspunkt, würde heißen B-A.

Aber woher weiß, ich das B mein Endpunkt ist?

Ihr habt recht es sind in der Tat Punkte... :-)

14.01.2011, 19:43

baphomet

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Das hängt von dir ab, welche Richtung der Vektor haben soll. Grundlegend ändert
das nichts, aber man muß dann eben bei der Winkelberechnung aufpassen weil
sich die Richtung des Vektors ändert und damit berechnet man unter Umständen
den Ergänzungswinkel.

Bleib jetzt mal ganz ruhig, wir haben ein Dreieck, das du mittels der angegeben
Vektoren aufspannen lässt. Jetzt berechnest du von deinen Vektoren das
Skalarprodukt und schaust, ob irgendwo ein rechter Winkel vorhanden ist.

14.01.2011, 19:44

bandchef

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Was bedeutet dann das hier: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Was bedeutet das jetzt? Ist meine Rechnung doch falsch?

14.01.2011, 19:46

baphomet

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Nein deine Rechnung ist nicht falsch, man muß eben bei der Winkelberechnung
die Richtung des Vektors entsprechend berücksichtigen.

Damit meint Iorek Ortsvektoren. Denn das sind Vektoren vom K.ursprung bis zu
deinem Punkt, nur so kannst du Vektoren aufstellen. Er sagte bereits das man
Punkte nicht addieren und subtrahieren kann.

14.01.2011, 19:47

bandchef

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Ich meine nur, nicht das ich da jetzt wirklich den Komplementärwinkel berechnet habe!

$\begin{eqnarray*} \vec{0A} - \vec{0B} \end{eqnarray*}$ darf ich rechnen aber nicht $\begin{eqnarray*} A-B \end{eqnarray*}$ ?

Das verstehe ich nicht

14.01.2011, 19:48

baphomet

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Ich sage mal so, das wäre in deinem Spezialfall nicht so schlimm.
Denn der Kosinus ist ja periodisch, genau das kommt dir zugute.

14.01.2011, 20:09

bandchef

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Danke.

Dann lieg ich ja gar nicht mal so schlecht. Wir haben nämlich sogar aufgeschrieben, dass der cosinus da ein "guter" Winkel ist. Im Skript steht was ähnliches wie du gerade geschriebn hast!

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