Beweise mit lin. Abb.

Neue Frage »

15.01.2011, 11:41	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise mit lin. Abb. Hallo, die folgende Aufgabe ist in zwei Unteraufgaben eingeteilt. Diese Unteraufgaben hängen allerdings nicht zusammen; ich habe mich zunächst mit der ersten auseinandergesetzt. 1. Sei V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} \phi: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} \phi^2 = \phi \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: es gilt $\begin{eqnarray} V = ker\phi \oplus im\phi \end{eqnarray}$ . 2. Seien V und W zwei K-Vektorräume und $\begin{eqnarray} \phi: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Sei U \subset W ein Unterraum. Zu zeigen: es gilt $\begin{eqnarray} dim \phi^{-1}(U) = dim(U \cap im\phi)+dim(ker\phi) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also zu 1.: Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} V = ker\phi \oplus im\phi \end{eqnarray}$ gilt, muss ich zwei Eigenschaften beweisen. a) $\begin{eqnarray} ker\phi \cap im\phi = \{0\} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} V = ker\phi + im\phi \end{eqnarray}$ Meine Idee zu a) ist nun, dass ich einfach ein $\begin{eqnarray} x \in (ker\phi \cap im\phi) \end{eqnarray}$ wähle und zeige, dass $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist. Ist der Weg soweit richtig? Wenn $\begin{eqnarray} x \in ker\phi \end{eqnarray}$ ist, dann muss für x einerseits gelten, dass $\begin{eqnarray} \phi(x)=0 \end{eqnarray}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray} x \in im\phi \end{eqnarray}$ ist, dann muss es ein $\begin{eqnarray} y \in V \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} \phi(x)=y \end{eqnarray}$ ist. Prinzipiell gilt doch einfach nur, dass $\begin{eqnarray} im\phi \end{eqnarray}$ die Menge aller Vektoren $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ . Also wegen $\begin{eqnarray} x \in im\phi \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} x \in ker\phi \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \phi(x)=0 \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \phi(x)=0=\phi(x) \end{eqnarray}$ . Aber irgendetwas scheint da nicht zu stimmen. Kann ich um b) zu beweisen mit dem Dimensionssatz arbeiten? Ich muss ja sicherlich auf $\begin{eqnarray} \phi^2 = \phi \end{eqnarray}$ verwenden...aber wo?
16.01.2011, 11:37	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich jetzt auch an 2) versucht, aber irgendwie komme ich da nicht voran. Kann man mir dazu vielleicht einen kleinen Hinweise geben, wie man anzufangen hat? Bei 1)a) bin ich gerade weitergekommen: a) $\begin{eqnarray} ker\phi \cap im\phi = \{0\} \end{eqnarray}$ Also: Wenn $\begin{eqnarray} x \in ker\phi \end{eqnarray}$ ist, dann muss für x einerseits gelten, dass $\begin{eqnarray} \phi(x)=0 \end{eqnarray}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray} x \in im\phi \end{eqnarray}$ ist, dann muss es ein $\begin{eqnarray} y \in V \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} \phi(y)=x \end{eqnarray}$ ist. Also ist dann $\begin{eqnarray} 0 = \phi(x) = \phi(\phi(y)) = \phi(y) \end{eqnarray}$ Hier habe ich dann auch die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} \phi = \phi^2 \end{eqnarray}$ gilt, verwendet. Und zu b) Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} y \in V \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} y = y - \phi(y)+\phi(y) \end{eqnarray}$ . Bzw: $\begin{eqnarray} y - \phi(y) = y - \phi(y) \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \phi(y-\phi(y)) = 0 \end{eqnarray}$ hätte ich dann auch wieder die Voraussetzung verwendet. Allerdings ist mir nicht so ganz klar, wie ich dadurch auf $\begin{eqnarray} V = ker\phi + im\phi \end{eqnarray}$ schließen kann (falls der Ansatz überhaupt richtig ist).
16.01.2011, 13:22	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist richtig, Du bist ja auch fast fertig: $\begin{eqnarray} y = y - \phi(y) + \phi(y) \end{eqnarray}$ Offenbar ist $\begin{eqnarray} y - \phi(y)\in Kern(\phi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(y)\in Bild(\phi) \end{eqnarray}$
16.01.2011, 13:53	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Und weil jedes $\begin{eqnarray} y \in V \end{eqnarray}$ so dargestellt werden kann, folgt, dass $\begin{eqnarray} V = ker\phi + im\phi \end{eqnarray}$ ? Das ist mir eben nicht ganz klar.
16.01.2011, 14:08	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, schau Dir einfach nochmal die Definition der Summe zweier Untervektorräume an.
16.01.2011, 14:13	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, werde ich machen. Hast du (oder sonst jemand) vielleicht noch einen Hinweis für mich bezüglich der zweiten Aufgabe? 2. Seien V und W zwei K-Vektorräume und $\begin{eqnarray} \phi: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Sei $\begin{eqnarray} U \subset W \end{eqnarray}$ ein Unterraum. Zu zeigen: es gilt $\begin{eqnarray} dim \phi^{-1}(U) = dim(U \cap im\phi)+dim(ker\phi) \end{eqnarray}$ . Die kommt mir um einiges schwerer vor als die erste Aufgabe...zumindest fällt mir da kein Ansatz ein. :/
Anzeige

16.01.2011, 14:19	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Durch $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ wird eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U)\to U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ induziert. Diese Abbildung ist surjektiv, und den Kern der Abbildung kann man leicht bestimmen...
16.01.2011, 16:35	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also, wenn die Abbildung surjektiv ist, dann weiß ich zumindest, dass der Kern nicht trivial ist. Wenn diese Abbildung $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U)\to U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ induziert wird...U ist ein Unterraum von W. Das Bild von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist ein Untervektorraum von W. Mir ist nicht so ganz klar, wie ich hier den Kern bestimmen kann. Und v.a.: wie genau kommt man eigentlich auf diese Abbildung? Es gilt doch: $\begin{eqnarray} \phi^{-1}: W \to V \end{eqnarray}$ .
16.01.2011, 16:57	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Die induzierte lineare Abbildung (nennen wir sie vielleicht $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ) sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \varphi: \phi^{-1}(U) \to U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(x) := \phi(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist wohldefiniert. Soweit klar? Betrachte nun die Isomorphie $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U)/Kern(\varphi) \cong Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ kann man leicht angeben. Dann muss man diese Isomorphie nur noch in eine Dimensionsaussage übersetzen und... fertig!
17.01.2011, 13:27	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal Danke für die Hilfe. Mir ist einfach nicht ganz klar, wie du auf diese induzierte lineare Abbildung kommst: $\begin{eqnarray} \varphi: \phi^{-1}(U) \to U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ und ebenfalls, wie du auf den Isomorphismus kommst: $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U)/Kern(\varphi) \cong Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ Ich habe mir die Definitionen der beiden Begriffe (induzierte Abbildung, Isomorphismus) gerade noch einmal durchgelesen. Aber ich weiß trotzdem nicht, wie man mit Hilfe der Voraussetzungen darauf kommt. Letztendlich muss ich dann also diesen Isomorphismus $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U)/Kern(\varphi) \cong Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} dim \phi^{-1}(U) = dim(U \cap im\phi)+dim(ker\phi) \end{eqnarray}$ umformen? Und dazu muss ich noch $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ angeben? Nur, dass ich es zumindest soweit verstanden habe.
17.01.2011, 17:35	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin! Die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ habe ich doch eindeutig definiert. Verstehst Du etwas an der Definition nicht? Eine Abbildung ist definiert durch den Definitionsbereich, den Wertebereich und die Abbildungsvorschrift. Das habe ich alles angegeben. Du solltest Dir selber klarmachen, warum die Abbildung wohldefiniert und linear ist. Wenn Du das gemacht hast, dann wirst Du die Abbildungsvorschrift auch verstehen. Mit "induziert" meine ich hier, dass sich die Abbildung relativ einfach aus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ergibt. Die Frage ist hier nicht, wie ich auf die Abbildung komme, sondern, warum die Abbildung einem bei der Aufgabenstellung hilft. Zum Isomorphismus: Für jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha: X \to Y \end{eqnarray}$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist der Quotientenvektorraum $\begin{eqnarray} X/Kern(\alpha) \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} Bild(\alpha) \end{eqnarray}$ . Das ist eine der wichtigsten Aussagen der linearen Algebra. Such mal hier unter "Homomorphiesatz" oder "Isomorphiesatz", da wirst Du sicher etwas zu finden. Wende diesen Satz auf $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ an, und Du erhältst die Isomorphie. Wenn Du dann die Dimensionen auf der linken und auf der rechten Seite bestimmst, dann erhältst Du die Gleichung, die zu beweisen ist. Es geht aber auch etwas elementarer mit der Formel $\begin{eqnarray} dim(X) = dim(kern(\alpha)) + dim(Bild(\alpha)) \end{eqnarray}$ . Wende diese Formel auf $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ an, und Du bist fertig. Dafür musst Du Dir allerdings noch überlegen, warum $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) = U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) = Kern(\phi) \end{eqnarray}$ gilt. (Dies müsstest Du im übrigen auch tun, wenn Du die Isomorphie benutzt...)
17.01.2011, 19:26	Blubbermensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dann ist die Definition dieser Abbildung also eine Idee von dir, die Aufgabe zu lösen. Ich dachte, dass man das zwingend aus der Voraussetzung ableiten muss um überhaupt einen Ansatz zu haben. Also, zunächst definiert man diese lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} \varphi: \phi^{-1}(U) \to U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ Wenn man $\begin{eqnarray} dim(X) = dim(Kern(\alpha)) + dim(Bild(\alpha)) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ anwendet, bekommt man: $\begin{eqnarray} dim \phi^{-1}(U) = dim(U \cap Bild(\phi))+dim(Kern\phi) \end{eqnarray}$ . Und dazu ist noch zu begründen, warum $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) = U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ und warum $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) = Kern(\phi) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ ist definiert als die Menge aller $\begin{eqnarray} \varphi(v) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v \in \phi^{-1}(U) \end{eqnarray}$ . Dann müssen doch alle $\begin{eqnarray} \varphi(v) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v \in \phi^{-1}(U) \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ enthalten sein, weil $\begin{eqnarray} \phi^{-1}(U) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} Bild(\phi) \end{eqnarray}$ abbildet. Oder ist das Unsinn? Habe übrigens durch Deine Hilfestellung hier schon viel dazugelernt.
18.01.2011, 08:33	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten beweist Du die Mengengleichheit durch gegenseitige Inklusion, da lernst Du am meisten. Also: $\begin{eqnarray} Bild(\varphi) \subset U \cap Bild(\phi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \cap Bild(\phi) \subset Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ Und beim Kern genauso

Neue Frage »

Antworten »

Beweise mit lin. Abb.

Verwandte Themen