Zwischenkörper und Teilkörper

15.01.2011, 12:19

Tobiass

Zwischenkörper und Teilkörper

Meine Frage:
a) Bestimmen Sie alle Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subseteq K\subseteq \mathbb Q(\sqrt[17]{19}) \end{eqnarray*}$ .

b) Geben Sie fünf (verschiedene) Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ an. Finden Sie weiter ein Element $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)=\mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
zu a): Mein größtes Problem ist es, zu zeigen, wie viele solche Zwischenkörper es gibt. Das hat wahrscheinlich was mit den Graden zu tun? Auf jeden Fall sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[17]{19}) \end{eqnarray*}$ solche Zwischenkörper.

zu b): Ich würde sagen, $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ selbst, $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(2) \end{eqnarray*}$ sind fünf verschiedene Teilkörper. Den Rest der Aufgabe versteh ich noch nicht so ganz.

15.01.2011, 15:08

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(2)=\mathbb Q \end{eqnarray*}$

15.01.2011, 19:01

Tobiass

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Dann müsste $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}^3) \end{eqnarray*}$ gehen?
Das größere Problem ist allerdings Teil a)

16.01.2011, 10:50

Tobiass

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Wie kann ich herausfinden, wie viele Zwischenkörper es in a) gibt?

16.01.2011, 13:17

Elvis

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zu a) $\begin{eqnarray*} X^{17}-19=0 \end{eqnarray*}$ hat genau eine reelle Nullstelle
zu b) ... auch nicht , denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2^3)=\mathbb Q(2\sqrt 2)=\mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$

16.01.2011, 13:33

Tobiass

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zu a): Also ist $\begin{eqnarray*} x^{17}-19 \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom. Also gilt $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt[17]{19}):\mathbb Q]=17=[\mathbb Q(\sqrt[17]{19}):K]\cdot [K:\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 17 \end{eqnarray*}$ Primzahl ist, muss also $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt[17]{19}):K]\cdot [K:\mathbb Q]=1\cdot 17\ \vee\ 17\cdot 1 \end{eqnarray*}$ gelten.
Heißt das, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[17]{19}) \end{eqnarray*}$ die einzigen Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind?

16.01.2011, 13:51

Elvis

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a) ohne Gewähr ... vielleicht weiß es ein besser Wissender besser ...
b) wo bleibt der 5. Körper ? schon mal an $\begin{eqnarray*} \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$ gedacht ?

16.01.2011, 13:55

Tobiass

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Also ist der 5. Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .

Die a) lass ich dann einfach mal so stehen...

16.01.2011, 14:02

Elvis

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zu b) ja, das ist doch ein schöner Teilkörper, oder nicht ? Die Galoisgruppe wäre dann die Kleinsche Vierergruppe.

16.01.2011, 14:09

Tobiass

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Super!

Zitat:

Finden Sie weiter ein Element $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)=\mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ .

Es gilt doch eigentlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+i\in \mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ und außerdem auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}+i)=\mathbb Q(\sqrt{2}, i) \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2011, 14:36

Elvis

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Gut, aber wo ist die Begründung für $\begin{eqnarray*} \sqrt 2,i \in \mathbb Q(\sqrt 2+i) \end{eqnarray*}$ ?

Tipp: Das Minimalpolynom des primitiven Elements $\begin{eqnarray*} \pi = i+\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+9 \end{eqnarray*}$ . Berechne die (2. und 3.) Potenzen des primitiven Elements. Jedes Element $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Q(i,\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ hat eine Darstellung $\begin{eqnarray*} x=\alpha+\beta \pi+\gamma \pi^2+\delta\pi^3 \end{eqnarray*}$ . Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha,...,\delta \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i,\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ bekommst du durch Koeffizientenvergleich.

16.01.2011, 15:17

jester.

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(a) sollte meines Erachtens stimmen, wobei es eine elegantere Begründung gibt: $\begin{eqnarray*} X^{17}-19 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel nach Eisenstein und deswegen ist es das Minimalpolynom.

Die Existenz einer einzigen reellen Nullstelle reicht auch nicht für den Beweis der Irreduzibilität, man müsste schon alle möglichen Produkte aus den Linearfaktoren des Polynoms bilden, um sicher zu sein. Z.B. hat $\begin{eqnarray*} X^4+3X^2+2 \end{eqnarray*}$ keine einzige reelle Nullstelle, trotzdem ist es über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ reduzibel.

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