Verschoben! Berechnen einer fehlenden Koordinate

15.01.2011, 16:33

chrisse1234

Berechnen einer fehlenden Koordinate

Hey,

Gegeben sind in der Aufgabe die Punkte A(1/6/-5), B(7/9/1), C(4/3/7) und S(-16/-8/-2)

Im a) Teil muss man zeigen, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist, hab ich auch gemacht:

AB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
BC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ergibt 0, also 90°. Hier sollte man noch den Flächeninhalt berechnen:

0,5* |AB| * |AB| = 40,5

Der b) teil forderte die Ebenengleichung durch die Punkte A,B,C in Parameter, sowie in Koordinatenform. Habe ich hoffentlich auch mal richtig gemacht. (Bin mir nicht sicher)

E:x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> Vektorprodukt für den Normalenvektor ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 54 \\ -54 \\ 27 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hieraus folgt eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit so gut Big Laugh

(hoffentlich)

im c)Teil soll man nun einen 4. Punkt D ergänzen welcher das Dreieck ABC zu einem Rechteck erweitert. Macht man das nun auch über das Skalarprodukt?

Auf jedenfall wäre hier ein Lösungsweg sehr hilfreich für mich, habe zwar ein paar Ansätze aber ob das wiederum stimmt weis ich auch nicht. Hätte jetzt halt irgendwie versucht Vektoren zu bilden, das Skalarprodukt = 0 setzen und nach d1, d2,d3 auflösen. Jedoch kriege ich das nicht so hin wie ich will Big Laugh

.

Außerdem soll man zeigen das ABCD ein Quadrat ist.

im d) Teil soll man nun überprüfen ob die Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S senkrecht ist.

Ein paar Tipps hierzu wären echt toll, bis dann, schönes Wochenende!

15.01.2011, 18:17

corvus

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RE: Berechnen einer fehlenden Koordinate

Zitat:

Original von chrisse1234
Hey,

Gegeben sind in der Aufgabe die Punkte
A(1/6/-5), B(7/9/1), C(4/3/7) und S(-16/-8/-2)

Im a) Teil muss man zeigen, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist, hab ich auch gemacht:

AB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , BC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sollte man noch den Flächeninhalt berechnen:

0,5* |AB| * |AB| welche Info benutzt du hier zusätzlich,
um die Fläche des Dreiecks so zu berechnen?

Der b) teil forderte die Ebenengleichung durch die Punkte A,B,C
in Parameter, sowie in Koordinatenform.
Habe ich hoffentlich auch mal richtig gemacht.

E:x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
richtig .. abe das könntest du noch etwas vereinfacht so notieren:
E:x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> Vektorprodukt für den Normalenvektor ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unglücklich

nein ..überprüfe die Vorzeichen
nebenbei: du kannst auch selbst testen:
bereche probeweise die Skalarprodukte
(dein "Normalenvektor" mal Richtungsvektor(en) von E oben)

soweit so gut nein
!

korrigiere erst mal bis hierhin..
und für c) kannst du schonmal neu überlegen ..
(du wirst doch da kein Skalarprodukt gebrauchen..)
.

15.01.2011, 18:59

chrisse1234

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Ah, ja, danke erstma smile

also hab nochmals nachgerechnet: n= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

müsste stimmen, hab das auch mit dem Skalarprodukt nochmals überprüft.

zu c) .. also zwischen AB und BC ist ja ein rechter Winkel. D Muss ja dann grade der Spiegelpunkt von B sein (gespiegelt an AC). Im Unterricht wurde das glaube ich mit dem Skalarprodukt gemacht, bin mir aber nicht mehr sicher.. schon so lange her.

Also irgendwie Vektoren hingeschrieben. AD = a1 - d1 .. = 0 und nach d aufgelöst.

Kann mich aber auch komplett irren. Stehe grade eh ziemlich auf dem Schlauch ^^

15.01.2011, 19:25

corvus

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Zitat:

Original von chrisse1234

also hab nochmals nachgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

(nebenbei: das ist nur eine von vielen richtigen Möglichkeiten
für Normalenvektoren zu E)

zu c) .. also zwischen AB und BC ist ja ein rechter Winkel.

Kann mich aber auch ...

der Vektor von A zum gesuchten Punkt D ist dann doch
- parallel zum Vektor b= BC
- und wohl auch noch gleich lang wie b
oder?
was passiert nun, wenn du den Vektor b im Punkt A ansetzt?
.

15.01.2011, 19:33

chrisse1234

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Ah klar

Ich Idiot

AD = BC

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d1-1 \\ d2-6 \\ d3+5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d1 = -2
d2 = 0
d3 = 11

15.01.2011, 19:41

corvus

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Zitat:

Original von chrisse1234

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d1-1 \\ d2-6 \\ d3+5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d1 = -2
d2 = 0
d3 = 11

überprüfe nochmal den Wert für d3 Wink

also: D(-2; 0; ?)

15.01.2011, 19:47

chrisse1234

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ach ja, da war wohl jmd etwas zu schnell Big Laugh

natürlich D(-2; 0; 1)

in d) muss ich nun aus der Grundfläche eine Ebene aufspannen. Diese Ebene mit ner Geraden durch S schneiden um den Mittelpunkt zu kriegen? Dann Skalarprodukt von MS und nem Richtungsvektor der Ebene. Wenn das 0 ist ist das eben senkrecht?

15.01.2011, 20:17

corvus

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Zitat:

Original von chrisse1234

natürlich D(-2; 0; 1)

in d) muss ich nun aus der Grundfläche eine Ebene aufspannen.

wenn ich mich recht erinnere, hast du doch längst eine Gleichung dieser
Ebene E[ABC D]
... also hast's jetzt gespannt ?

und irgendwie kennst du auch schon Lotvektoren zu E - oder irre ich mich? smile

nun: wenn das pyramidische Ding "senkrecht" mit Spitze in S sein sollte :
wo landest du dann, wenn du dich von S senkrecht auf die Ebene herunterstürzt?
.. harter Aufschlag in M
Und wenn es auch noch eine "gerade" Pyra.. wäre .. wo müsste M dann im
Quadrat ABCD herumliegen?

ok: diesen Punkt M des Quadrates kannst du doch mühelos schon von Anfang an
direkt angeben? ehe du nach einer Pyramide gefragt wirst ..oder?

also: um die Frage zu beantworten:
überlege einfach: in welcher Beziehung die Vektoren MS und n stehen müssten,
damit die Spitze S senkrecht über M sein würde...
.

15.01.2011, 20:24

chrisse1234

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Ja, bei ner geraden Pyramide wäre M in der Mitte der Grundfläche. Wie kann ich die sofort angeben?

Ich verstehe die Frage aber auch grade nicht so wirklich:

Untersuchen Sie, ob die Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S senkrecht ist.

Wie kann n Punkt senkrecht zu etwas sein?

15.01.2011, 20:41

chrisse1234

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ja MS müsste ja n Vielfaches von n sein nehm ich mal an oder? nur wie kriege ich m? ne Gerade durch S kann E ja in belieg vielen Stellen und Winkeln schneiden.

15.01.2011, 20:42

corvus

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Zitat:

Original von chrisse1234
Ja, bei ner geraden Pyramide wäre M in der Mitte der Grundfläche. Wie kann ich die sofort angeben?
weisst du denn wirklich nicht, wie die Koordinaten vom Mittelpunkt M
der Strecke AC ermittelt werden, wenn die Daten für A und C bekannt sind?

Ich verstehe die Frage aber auch grade nicht so wirklich:

Untersuchen Sie, ob die Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S senkrecht ist.

Wie kann n Punkt senkrecht zu etwas sein?
die Formulierung der Frage ist wirklich nicht gerade gekonnt..
denn bei jeder Pyramide liegt die Spitze ja garantiert senkrecht über irgendeinem
Punkt (irgendwo auf der Grundfläche..)

aber gemeint ist wohl dies:
nicht der Punkt ist senkrecht, sondern die Pyramide
hat die Spitze senkrecht über der Mitte der Grundfläche ..
oder halt auch nicht..dann ist sie halt gerade nicht gerade .die Pyra..

........................................ smile

15.01.2011, 20:48

chrisse1234

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Ja.. sorry wie gesagt ich kapiers grade nicht

15.01.2011, 21:18

chrisse1234

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Ah sorry, hatte deinen grünen Text überlesen, ja so dachte ich es mir dann im nachhinein auch ^^ aber der Ansatz fehlt mir dennoch unglücklich

16.01.2011, 13:49

chrisse1234

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Hey, also Mittelpunkt müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 7,5 \\ -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein. MS ist dann eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -20 \\ -15,5 \\ -0,5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - was kein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene E ist.

D.h es ist keine gerade Pyramide?

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