Aussagen über Matrizen beweisen (rang)

16.01.2011, 10:04

Sparschwein

Aussagen über Matrizen beweisen (rang)

Hallo!

Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} n,m,r,s \in \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ . Seien die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \in K^{n x r}, B \in K^{r x m}, C \in K^{s x n}, D \in K^{n x r} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Zeigen sie die folgenden Behauptungen:

a) Es gilt $\begin{eqnarray*} rangA \leq min(n,r) \end{eqnarray*}$ .

b) Nehme an, B sei surjektiv. Dann ist $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) = rang A \end{eqnarray*}$ .

c) Nehme an, dass $\begin{eqnarray*} kerC = {0} \end{eqnarray*}$ ist. Dann folgt $\begin{eqnarray*} rang(C \cdot A) = rang A \end{eqnarray*}$ .

d) Es gilt $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) \leq min(rang A, rang B) \end{eqnarray*}$ .

e) Sei $\begin{eqnarray*} k:= rang A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l:= rang D \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} | k - l | \leq rang(A+D) \leq k + 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

a) Wenn $\begin{eqnarray*} A \in K^{n x r} \end{eqnarray*}$ ist, dann kann der Rang von A doch nicht größer sein als $\begin{eqnarray*} min(n,r) \end{eqnarray*}$ . Oder ist nicht so klar, dass der Rang entweder kleiner oder gleich groß ist? verwirrt

b) Wenn der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, dann folgt die Surjektivität. Also hat B vollen Zeilenrang bzw. $\begin{eqnarray*} rang B = r \end{eqnarray*}$ .
Aber wie kann ich dann etwas für die Matrixmultiplikation beweisen?
Also, dass $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) = rang A \end{eqnarray*}$ gilt?

c) Wenn der Kern einer Matrix trivial ist, dann folgt die Injektivität. Die Matrix hat also vollen Spaltenrang bzw. $\begin{eqnarray*} rang C = n \end{eqnarray*}$ . Die Fragestellung hier ist ja ähnlich wie bei b. Hier komme ich auch nicht weiter.

d) Hier ist folgendes zu zeigen: Es gilt $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) \leq min(rang A, rang B) \end{eqnarray*}$ .
Aber heißt diese Aussage, dass $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich groß ist wie $\begin{eqnarray*} rang A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} rang B \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin für jegliche Hinweise dankbar.

Schöne Grüße. smile

17.01.2011, 08:23

Sparschwein

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Entschuldigt bitte das "Pushen", aber kann mir hier niemand helfen?

Ich denke, dass die einzelnen Aufgaben relativ kurz sind; mir fehlt allerdings die Idee, wie ich da irgendetwas für die Matrixmultiplikation beweisen kann (bei der letzten Aufgabe ist es dann Matrixaddition).

Ich bin, wie gesagt, wirklich für jede Hilfe dankbar.

17.01.2011, 08:41

Reksilat

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Wie ist denn der Rang bei Euch definiert?
Ich würde ja eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in K^{n\times r} \end{eqnarray*}$ als lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} K^r\to K^n \end{eqnarray*}$ betrachten. Dies legt übrigens auch die Aufgabenstellung nahe, wo von "surjektiven Matrizen" die Rede ist, was ansonsten Unsinn ist.

Die Multiplikation ist dann die Hintereinanderausführung.

Gruß,
Reksilat.

17.01.2011, 09:39

Sparschwein

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Hallo,

also die Angabe ist vollständig; mehr stand nicht dabei.
Allerdings ist das sicherlich genau so gemeint, wie du es geschrieben hast. smile

B ist dann eine surjektive Abbildung von K^r nach K^m.
Intuitiv ist mir z.B. die Aussage b) allerdings nicht ganz klar; also, warum das gelten sollte.
Die Definitionsmenge von B ist die Zielmenge von A.
Wenn also A und B unterschiedlichen Rang haben, dann hat das Produkt AB den Rang von A...wohl aufgrund der Surjektivität von B. Aber warum das so ist, kann ich nicht nachvollziehen.

17.01.2011, 10:21

Reksilat

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Zitat:

Original von Reksilat
Wie ist denn der Rang bei Euch definiert?

Du musst mit der Definition arbeiten. Anders (also zum Beispiel nur mit Intuition) wirst Du nix beweisen könne.

Zitat:

Die Definitionsmenge von B ist die Zielmenge von A.

Das ist falsch.
Es ist $\begin{eqnarray*} B:K^m\to K^r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A:K^r\to K^n \end{eqnarray*}$

Ich habe auch nicht gesagt, dass irgendwas fehlt. Allerdings ist es ungewöhnlich von einer surjektiven Matrix zu sprechen, da eine Matrix erst mit einer Basis in Verbindung zu einer Abbildung gebracht werden kann. Ansonsten ist sie nur eine Tabelle mit Zahlen.

Gruß,
Reksilat.

17.01.2011, 13:06

Sparschwein

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Also, der Zeilenrang von B ist die Dimension des von den Zeilen erzeugten Vektorraumes. Analog für Spaltenrang.

Aber mir ist unklar, welchen Einfluss die Surjektivität von B auf den Rang hat und inwiefern man dann dadurch zu dem Ergebnis kommen sollte, dass rang(AB) = rang A ist (um bei Aufgabe b) zu bleiben).

Die Definitionsmenge von A ist also die Zielmenge von B.
Aufgrund der Surjektivität weiß ich, dass jedes Element von $\begin{eqnarray*} K^r \end{eqnarray*}$ mindestens ein Urbild in $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ hat.

Meintest du in deinem ersten Beitrag, dass die Multiplikation die Komposition der beiden Abbildungen ist?

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} B:K^m\to K^r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A:K^r\to K^n \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} K^r \to K^r \end{eqnarray*}$ ?

17.01.2011, 13:32

Reksilat

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Die Matrixmultiplikation entspricht der Hintereinanderausführng von zugehörigen Matrizen.
Wenn $\begin{eqnarray*} f:K^r\to K^n \end{eqnarray*}$ abbildet und $\begin{eqnarray*} g:K^m\to K^r \end{eqnarray*}$ , so bildet $\begin{eqnarray*} f\circ g:K^m\to K^n \end{eqnarray*}$ ab.
Analog verhält es sich mit den zugeordneten Matrizen.

Allerdings hast Du noch nicht genau gesagt, was eine surjektive Matrix bei Euch ist. Der Rang wird nämlich auch gerne als die Dimension des Bildes einer zugehörigen linearen Abbildung definiert.
Irgendwo muss ja die Verbindung zwischen Abbildungen und Matrizen entstehen.

17.01.2011, 14:08

Sparschwein

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Zitat:

Der Rang wird nämlich auch gerne als die Dimension des Bildes einer zugehörigen linearen Abbildung definiert.

Wenn A eine darstellende Matrix ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} rang(f):=dim(imf)=rangA \end{eqnarray*}$ (f ist eine lineare Abbildung).

17.01.2011, 14:14

Reksilat

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Na damit lässt sich doch arbeiten.

Nehmen wir mal an, dass wir zu allen Vektorräumen hier Basen haben (z.B. Standardbasis) und es seien $\begin{eqnarray*} f:K^r\to K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:K^m\to K^r \end{eqnarray*}$ Abbildungen mit Matrixdarstellungen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f\circ g:K^m\to K^n \end{eqnarray*}$ hat dann die Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} A\cdot B \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv. Was wissen wir dann über das Bild von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? Was sagt das über die Beziehung zwischen den Bildern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ ?

17.01.2011, 14:31

Sparschwein

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Es gilt dann, dass $\begin{eqnarray*} Bild(g) = K^r \end{eqnarray*}$ .

Offenbar entspricht dann $\begin{eqnarray*} Bild(g) \end{eqnarray*}$ gerade der Definitionsmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Gilt dann, dass $\begin{eqnarray*} rang(g):=dim(Bild(g))=rang B \end{eqnarray*}$ ist?

Aber ich habe jetzt ja nur Aussagen über $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} K^r \end{eqnarray*}$ gemacht...wie kann ich dann etwas über $\begin{eqnarray*} f\circ g:K^m\to K^n \end{eqnarray*}$ sagen?

17.01.2011, 18:10

Reksilat

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Zitat:

Gilt dann, dass $\begin{eqnarray*} rang(g):=dim(Bild(g))=rang B \end{eqnarray*}$ ist?

Das hast Du doch selbst oben schon geschrieben. (Nur mit anderen Bezeichnungen)

Zitat:

Es gilt dann, dass $\begin{eqnarray*} Bild(g) = K^r \end{eqnarray*}$ .

Ja.

Zitat:

Offenbar entspricht dann $\begin{eqnarray*} Bild(g) \end{eqnarray*}$ gerade der Definitionsmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Richtig.
Nun überlege mal. Der unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ ist doch der, dass bei der zweiten Abbildung mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur noch Bilder von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, wohingegen bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbst alle Elemente aus dem Definitionsbereich abgebildet werden können.
Im allgemeinen gilt $\begin{eqnarray*} {\rm im}(f)\supseteq{\rm im}(f\circ g) \end{eqnarray*}$ .
Was gilt aber in diesem Fall?

17.01.2011, 19:04

Sparschwein

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Bei $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur Bilder von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ab.
Bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ können alle ELemente aus dem Definitionsbereich abgebildet werden. Der Definitionsbereich entspricht aber gerade $\begin{eqnarray*} Bild(g) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} {\rm im}(f) = {\rm im}(f\circ g) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} A \cdot B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber daraus folgt dann doch die Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) = rang A \end{eqnarray*}$ .

18.01.2011, 09:22

msc77777

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Zitat:

Original von Reksilat
Die Matrixmultiplikation entspricht der Hintereinanderausführng von zugehörigen Matrizen.
Wenn $\begin{eqnarray*} f:K^r\to K^n \end{eqnarray*}$ abbildet und $\begin{eqnarray*} g:K^m\to K^r \end{eqnarray*}$ , so bildet $\begin{eqnarray*} f\circ g:K^m\to K^n \end{eqnarray*}$ ab.
Analog verhält es sich mit den zugeordneten Matrizen.

Korrigier mich wenn ich falsch liege, aber wenn A und B Abbildungsmatrizen darstellen, dann wird doch die Fkt. f für A zuerst ausgeführt. D.h.

$\begin{eqnarray*} (f\circ g)(x) = g(f(x)) \end{eqnarray*}$

Und damit doch auch

$\begin{eqnarray*} (A\cdot B)x = B(Ax) \end{eqnarray*}$

Dann bildet aber $\begin{eqnarray*} (f\circ g) \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ab.

Ich verhaue mich immer mit diesen Reihenfolgen... Gibts da n Trick für nachhaltige Klarheit?

18.01.2011, 16:13

Reksilat

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Zitat:

Original von Sparschwein
Bei $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur Bilder von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ab.
Bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ können alle ELemente aus dem Definitionsbereich abgebildet werden. Der Definitionsbereich entspricht aber gerade $\begin{eqnarray*} Bild(g) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} {\rm im}(f) = {\rm im}(f\circ g) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} A \cdot B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber daraus folgt dann doch die Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B) = rang A \end{eqnarray*}$ .

Dar Rang ist doch als Dimension der Bilder definiert und diese sind gleich. Wo liegt das Problem?

qmsc77777: Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)
Man kann es aber auch andersrum definieren.
Keine Ahnung was besser ist. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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