Approximieren mittels 1.Ableitung

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16.01.2011, 10:41	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
Approximieren mittels 1.Ableitung Also irgendwie verstehe ich diese Aufgabe hier nich: Wir sollen die folgenden beiden Aufgaben mittels 1.Ableitung approximieren. a) $\begin{eqnarray} e^{0,03} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{26,93} \end{eqnarray}$ Wie genau gehe ich da vor?
16.01.2011, 11:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Approximieren mittels 1.Ableitung Bitte mal den genauen Originalwortlaut der Aufgabe posten.
16.01.2011, 11:26	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
"Approximieren Sie mittels erster Ableitung:" In meinen Aufzeichnungen fand ich das hier: $\begin{eqnarray} f(x_{0}+\wedge x)\Rightarrow f(x_{0})+Tangentensteigung\wedge x = f(x_{0})+f'(x_{0})\wedge x \end{eqnarray}$ wobei der -> Pfeil ein "ungefähr-Zeichen" sein soll und das umgekehrte Dreieck soll natürlich unten geschlossen sein.
16.01.2011, 11:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie es geht ist mir schon klar. Problem ist doch, in deiner Aufgabenstellung fehlt das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ .
16.01.2011, 12:10	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube das x0 dürfen wir frei wählen. Also Beispiel hatten wir die Aufgabe mit $\begin{eqnarray} \sqrt{16,06} \end{eqnarray}$ und da haben wir dann als x0 16 gewählt, weil uns $\begin{eqnarray} \sqrt{16} \end{eqnarray}$ bekannt ist.
16.01.2011, 12:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. wie lauten denn die eigentlichen Funktionen [mal mit x] und deren erste Ableitungen?
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16.01.2011, 12:31	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
für a) ist die Funktion: $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ und die 1.Ableitung auch. für b) ist die Funktion: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ und die 1.Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} x^{\frac{-2}{3} } \end{eqnarray}$ oder?
16.01.2011, 12:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ Wie lautet die erste Ableitung? Was möchtest du als x0 wählen?
16.01.2011, 17:58	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
von $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ ist die erste Ableitung doch das gleiche, oder? Ich weiß nicht, was ich als x0 wählen könnte. Es müsste doch eine Zahl sein, die ich dann für das x einsetze und wo ich das Ergebnis weiß. Ich kann aber mit dem e immer so wenig anfangen...
16.01.2011, 18:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Herrlich diese Antwort. $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=e^x \end{eqnarray}$ Was ist f(0), f'(0)?
16.01.2011, 18:03	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
beides 1
16.01.2011, 18:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und was machen wir nun damit?
16.01.2011, 18:06	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
0 wäre nun also unser x0??? dann wäre "Dreieck" von x also 0,03??
16.01.2011, 18:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
16.01.2011, 18:12	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
super! dann setze ich das also nur noch in die Formel ein... habe dann 1,03 raus. Was kann ich denn bei Aufgabe b) für ein x0 wählen???
16.01.2011, 18:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ Welche dritte Potenz einer ganzen Zahl ist denn nahe 26,93?
16.01.2011, 18:22	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
mh... also nach Ausprobieren mit dem Taschenrechner komme ich jetzt auf die Zahl 19683. Davon die dritte Wurzel wäre dann 27. Aber wenn ich den Taschenrechner benutze um dieses x0 rauszufinden, dann kann ich ja auch gleich die gesamte Aufgabe eintippen, oder sehe ich das falsch?
16.01.2011, 18:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hoch ³ soll nahe 26,... liegen...
16.01.2011, 18:27	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
also 27. 3 hoch 3 ist 27. Also ist die dritte Wurzel aus 27 drei.
16.01.2011, 18:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollten wir x0=27 wählen, oder? Was weißt du über die erste Ableitung?
16.01.2011, 18:37	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
die Ableitung ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}} \end{eqnarray}$ ??
16.01.2011, 18:38	Jelure	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh, super! Hat doch geklappt! Hab eben vergessen Punkt-vor-Strich zu rechnen . Jetzt passt das Ergebnis. Vielen, vielen Dank! Du hast mir echt super geholfen!!!
16.01.2011, 18:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist das nur ein Term. Bitte mehr Sorgsamkeit. $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 (\sqrt[3]x)^2} \end{eqnarray}$ Wollen wir also bei x0=27 bleiben? edit: Dann sind wir wohl fertig.

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