Dimension eines Vektorraums bestimmen.

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16.01.2011, 15:21	sven1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Vektorraums bestimmen. Hallo, habe eine Aufgabe bei der ich die Dimension von Vektorräumen durch angeben einer Basis bestimmen soll. a) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R³ : x1 + x2 - 2x3 = 0\right\} \end{eqnarray}$ Wie muss ich da denn ansetzen? Habe bisher nur für konkret gegebene Vektoren Basis/Dimension bestimmt aber hier habe ich ja einen ganzen Raum? Hoffe ihr könnt mir helfen. Gruß und danke, sven
16.01.2011, 15:36	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge lässt sich als $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}(\varphi) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb R^3\rightarrow\mathbb R,~\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto x_1+x_2-2x_3 \end{eqnarray}$ interpretieren.
16.01.2011, 16:40	sven1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok. Ich habe dann nun also eine Lineare Abbildung und soll von dieser den Kern berechnen? Der Kern sind alle Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden. Somit müsste ich nun ein LGS bzw. dessen Matrix aufstellen? Das wäre dann doch: A = (1 1 -2) Das wäre dann unterbestimmt, was heißt das es unendliche viele Lösungen gibt, somit würde ich nun z.B. x3 = t und x2 = s wählen und damit dann x1 = 2t - s erhalten. Nun wüsste ich nichtmehr weiter. Ich befürchte aber dass das eh schon falsch ist, oder? .
16.01.2011, 17:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher sieht das doch soweit gut aus, du kannst jetzt den Lösungsraum angeben und eine Basis bestimmen; hilfreich ist auch der [Artikel] Basis, Bild und Kern.
16.01.2011, 17:23	sven1991	Auf diesen Beitrag antworten »
So, der Lösungsraum wäre dann: $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 2t - s \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus würde sich dann ergeben: $\begin{eqnarray} s \begin{pmatrix} st/s - 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 - s/t \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somite wäre die Basis dann die Vektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} st/s - 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 2 - s/t \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ist das Richtig? Edit: Die Dimnesion wäre dann 2.
16.01.2011, 17:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wie hast du das denn umgeformt? Tipp: Teile den Lösungsvektor zuerst in die Summe von zwei Vektoren auf; der erste Vektor enthält die Variable s, der zweite die Variable t; danach kannst du leichter die Faktoren rausziehen und Basis bestimmen.
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16.01.2011, 17:43	sven1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das weiß ich selbst nicht ^^. Ok neuer Versuch nach vorherigem aufteilen hätte ich dann die: $\begin{eqnarray} s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die beiden Vektoren wären dann meine Basis, und die Dimension wäre 2. Ich hoffe das stimmt jetzt. Noch eine weitere Frage: Diese Methode über den Kern, geht die bei solchen aufgabenstellungen immer? aufgabe b) ist das selbe nur das ich hier einen vektor aus R^4 habe, dann mit x2 - 2x3 - 3x4 = 0. Der Ansatz wäre dann der selbe oder?
16.01.2011, 17:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sollte jetzt soweit stimmen. Für die nächste Aufgabe kannst du den selben Ansatz verwenden, ja.
16.01.2011, 17:49	sven1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt Vielen dank für deine Hilfe, werde zukünftig wohl öfters mal hier nachfragen

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