Sinus, Cosinus

16.01.2011, 19:19

mathe12344321

Sinus, Cosinus

Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard-Freunde,

ich habe eine Aufgabenstellung die folgendermaßen lautet:

Seien ? und ? zwei spitze Winkel, mit sin? = 1/3 und cos? = 1/4. Berechne
sin(? + ?) und cos(? ? ?).

Meine Ideen:
Da ich im Besitz eines tollen Taschenrechners bin Augenzwinkern

, habe ich erst die jeweiligen Winkel in Gradmaß umgerechnet: Alpha ist rund 19° und Beta ist rund 76°.

Nun habe ich diese Winkel in folgende Gleichungen eingesetzt:

sin(Alpha+Beta)= sin 19°* sin 76° + cos 19° * cos 76°

Das Ergebnis ist rund 0,99

cos(Beta - Alpha) = cos (Beta + (- Alpha) = cos -19° * cos 76° + sin 76° * sin - 19°

Das Ergebnis ist rund -0,09

Alle Berechnungen habe ich im Gradmaß berechnet.

1. Frage: Sind meine Ergebnisse richtig?

2. Frage: Gibt es eine elegantere Lösung, um blöde Rundungen zu vermeiden? Das heißt, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

16.01.2011, 19:22

mathe12344321

Auf diesen Beitrag antworten »

Verzeiht den Doppelpost:

Die Fragezeichen bedeuten

sin Alpha = 19°

cos Beta = 76°

sin (Alpha + Beta) = ?

cos (Beta - Alpha) = ?

16.01.2011, 19:45

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sinus, Cosinus

Zitat:

Original von mathe12344321

Da ich im Besitz eines tollen Taschenrechners bin smile

ja - und ich befürchte nun mal, dass du vor lauter Freude über dein
tolles Ding die Aufgabe nicht so voll mitbekommen hast ?

also: gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha )= \frac{1}{3} <br /> \cos(\beta ) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du zB erst mal genau aufschreiben, dass dann

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )= \frac{\sqrt{8} }{3} <br /> \sin(\beta ) = \frac{\sqrt{15} }{4} \end{eqnarray*}$

und nun beginne, zu überlegen, warum das denn so ist

ok.. und jetzt kommt deine eigentliche Aufgabe:
berechne aus diesen Werten die genauen Werte von
sin (Alpha + Beta) = ?
und
cos (Beta - Alpha) = ?

und dazu solltest du dich daran erinnern, dass du von
sogenannten Additionstheoremen bestimmt schon mal was vernommen hast..

und genau in diese Formeln musst du schlicht die gegebenen Werte einsetzen..
mach mal: ...
.

16.01.2011, 20:13

mathe12344321

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen kleinen Weckruf! (Es ist aber auch ein wirklich schöner Taschenrechner! ^^)

Du kommst auf deine Ergebnisse, in dem du dir ein rechtwinkliges Dreieck vorgibst, mit den Hypotenusen 3 bzw. 4 und dann die noch fehlende Seite berechnest, da die 1 auch schon als Seitenlänge gegeben ist.

Setzte ich die Werte in die Additionstheoreme ein, dann komme ich auf:

sin (Alpha + Beta) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{15}+\sqrt{18}}{12} \end{eqnarray*}$

und auf

cos (Beta - Alpha) = $\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{8}-\sqrt{18}}{12} \end{eqnarray*}$

Stimmt es diesmal? Kann man noch mehr zusammenfassen?

Liebe Grüße

16.01.2011, 23:41

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe12344321

Setzte ich die Werte in die Additionstheoreme ein, dann komme ich auf:

sin (Alpha + Beta) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{15}+\sqrt{18}}{12} \end{eqnarray*}$

und auf

cos (Beta - Alpha) = $\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{8}-\sqrt{18}}{12} \end{eqnarray*}$

Stimmt es diesmal?

.. nein, leider nicht
hast du denn die Additionstheoreme nicht richtig nachschlagen können?
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha + \beta ) = \sin(\alpha )\cdot \cos(\beta ) + \sin(\beta ) \cdot \cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$
und nun solltest du es auch noch schaffen, die richtigen Werte - nämlich diese:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha )= \frac{1}{3} , . . . , \cos(\beta ) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha )= \frac{\sqrt{8} }{3} , . . . , \sin(\beta ) = \frac{\sqrt{15} }{4} \end{eqnarray*}$
an der richtigen Stelle einzusetzen .
ok?

und dann müsstest du die Formel für cos (Beta - Alpha) = ?
auch noch selbst herausfinden .. usw.., usw ..

..................... smile

17.01.2011, 17:23

mathe12344321

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch:

cos (Beta - Alpha) = $\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{15} + \sqrt{8} }{12} \end{eqnarray*}$

sin (Alpha + Beta) = $\begin{eqnarray*} \frac{1 + \sqrt{120} }{12} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass jetzt zumindest 1 Ergebnis mal stimmt. ^^

17.01.2011, 18:42

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe12344321
Neuer Versuch:

cos (Beta - Alpha) = unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{15} + \sqrt{8} }{12} \end{eqnarray*}$

sin (Alpha + Beta) = $\begin{eqnarray*} \frac{1 + \sqrt{120} }{12} \end{eqnarray*}$ Freude

Ich hoffe, dass jetzt zumindest 1 Ergebnis mal stimmt.

.... nein , beim 1 Ergebnis hast du einen Vorzeichenfehler eingebaut.
.

17.01.2011, 21:51

mathe12344321

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meinem 1. Versuch:

habe ich
cos (Beta - Alpha) =
cos ( Beta +(- Alpha)) = sin (-Alpha) * sin (Beta) - cos (-Alpha) * cos(Beta)

die einzige Idee die jetzt noch habe:

cos (Beta + (-Alpha))=- (sin (- Alpha) * sin (Beta) + cos (Alpha) * cos (-Beta)

Das heißt, die Vorzeichen im Zähler würden wechseln.

Mehr Ideen habe ich jetzt leider nicht.

17.01.2011, 22:06

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe12344321

Mehr Ideen habe ich jetzt leider nicht.

vielleicht hilft es dir, wenn ich die benötigte Formel
ganz langsam hier aufschreibe:

$\begin{eqnarray*} \cos( \beta -\alpha )= \cos( \beta )\cdot \cos( \alpha )+ \sin(\beta )\cdot \sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

setze jetzt die entsprechenden Werte ein ..
.

Neue Frage »

Antworten »

Sinus, Cosinus

Verwandte Themen