Duale Abbildungen erklären?

16.01.2011, 19:27

lama_3

Duale Abbildungen erklären?

Hallo Leute! smile

Auch nach der Lektüre zahlreicher Matheforen und Interneteinträge ist mir der Begriff der dualen Abbildung immer noch ein wenig undurchsichtich und ich hoffe auf euer didaktisches Können! smile

Mein Wissen bisher über Dualraum und Co:
Man betrachte eine K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V -> W \end{eqnarray*}$ . Zu dem K-VR V existiert ein Dualraum $\begin{eqnarray*} V^*:=Hom_K(V,K) \end{eqnarray*}$ , welcher alle Homomorphismen von V nach K enthält. Wie man Basen des Dualraums bestimmt weiß und kann ich auch, mein Problem ergibt sich erst bei den dualen Abbildungen:
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f^*:W^* -> V^* \end{eqnarray*}$ ist die duale Abbildung zu f. Diese bildet ein Element phi ab auf phi ° f. Allerdings landet man dabei meines Verständnisses nicht in V* sondern in K?

Ich hoffe man versteht mein Problem halbwegs, sonst versuch ich nochmal das differenzierter auszudrücken, ich würde mich freuen über eine Erklärung des ganzen Phänomens duale Abbildungen und Dualraum, klasse wäre auch, was das Ganze eigentlich für einen Sinn hat! smile

Ich sag jetzt schonmal danke, komm leider noch nicht so gut mit LaTex klar aber das wird hoff ich! smile

Viele Grüße
Das Lama

16.01.2011, 19:49

system-agent

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Diese duale Abbildung nimmt ein Element von $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ , also eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: W\to K \end{eqnarray*}$ , und produziert daraus ein Element von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , also eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ und zwar durch die Festlegung $\begin{eqnarray*} \varphi\circ f \end{eqnarray*}$ . Nun kannst du dich erstmal fragen, wieso die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi\circ f \end{eqnarray*}$ wirklich eine Abbildung $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ ist und dann, wieso diese linear ist [und damit wirklich ein Element aus $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist].

16.01.2011, 20:35

lama_3

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Nunja, wir haben ja die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V\to W \end{eqnarray*}$ also wird jedes v erstmal auf $\begin{eqnarray*} f(v)\in W \end{eqnarray*}$ abgebildet. Und von da wird $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf ein Element aus K abgebildet. Also ist der Weg $\begin{eqnarray*} V\to W\to K \end{eqnarray*}$ , richtig?!

Zur Linearität von $\begin{eqnarray*} \varphi \circ f \end{eqnarray*}$ :

Seien $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi' \in W^* \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha, \alpha' \in K \end{eqnarray*}$ , dann muss ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} f^*(\alpha \varphi + \alpha' \varphi') = \alpha f^*(\varphi) + \alpha' f^*(\varphi') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^*(\alpha \varphi + \alpha' \varphi') = (\alpha \varphi + \alpha' \varphi')\circ f :V\to K <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v\mapsto (\alpha \varphi + \alpha' \varphi')(f(v)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =(\alpha \varphi)(f(v)) + (\alpha' \varphi')(f(v)) = \alpha \varphi (f(v) + \alpha' \varphi' f(v) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (\alpha \varphi + \alpha' \varphi') \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} W* \end{eqnarray*}$ kommt und linear ist.

Andere Seite:
$\begin{eqnarray*} \alpha f^*(\varphi) + \alpha' f^*(\varphi') = \alpha \varphi \circ f + \alpha' \varphi' \circ f : V\to K \\v \mapsto \alpha \varphi (f(v)) + \alpha' \varphi' (f(v)) \end{eqnarray*}$
und das entspicht dem oben. Somit ist die Abbildung ein Element aus $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ weil sie von $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ abbildet und ein K-Homomorphismus ist!

Richtig?! So langsam klappts mit LaTex, auch wenns lange dauert!

16.01.2011, 23:02

system-agent

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Zitat:

Original von lama_3
Nunja, wir haben ja die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V\to W \end{eqnarray*}$ also wird jedes v erstmal auf $\begin{eqnarray*} f(v)\in W \end{eqnarray*}$ abgebildet. Und von da wird $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf ein Element aus K abgebildet. Also ist der Weg $\begin{eqnarray*} V\to W\to K \end{eqnarray*}$ , richtig?!

Ja, das ist richtig.

Ich meinte eigentlich wieso die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi\circ f \end{eqnarray*}$ linear ist. Das geht viel elementarer. Dazu musst du folgendes zeigen:
Zu $\begin{eqnarray*} v,v'\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,a'\in K \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\varphi\circ f)(av+a'v')=a(\varphi\circ f)(v)+a'(\varphi\circ f)(v') \end{eqnarray*}$ .

Du hast versucht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^* \end{eqnarray*}$ linear ist. Dabei brauchst du aber garnicht, dass $\begin{eqnarray*} (\alpha \varphi + \alpha' \varphi') \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ ist. Es ist einfach die Definition der Addition von Abbildungen:
$\begin{eqnarray*} f^*(\alpha\varphi+\alpha '\varphi ')(v)=((\alpha\varphi+\alpha '\varphi ')\circ f)(v)=\alpha\varphi(f(v))+\alpha '\varphi '(f(v))=\alpha f^*(\varphi)(v)+\alpha 'f^*(\varphi '(v)) \end{eqnarray*}$ .

16.01.2011, 23:20

lama_3

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Ah du hast recht, da hab ich mir zu viel Mühe gegeben! Big Laugh

Ich glaube aber ich hab jetzt begriffen, wie das mit den dualen Abbildungen funktioniert! smile

Das einzige was ich noch gern wissen würde, wozu man sowas denn überhaupt benutzt!? Augenzwinkern

Aber Danke schonmal an dich! smile

16.01.2011, 23:32

system-agent

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Klick mich.

17.01.2011, 13:51

lama_3

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Das hab ich auch gefunden, hat mir als Erstsemster allerdings nicht so viel hilfreiches gegeben! Big Laugh

Aber wahrscheinlich würde ich mit Beispielen von dir auch nicht viel mehr anfangen können, belassen wir es einmal dabei! smile

Ich fasse nochmal zusammen, um zu sehen, dass ich das wirklich begriffen hab:

Also zu jeder Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ von K-VR V und W ex eine duale Abbildung $\begin{eqnarray*} f^*:W^*\to V^* \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi \mapsto \varphi \circ f \end{eqnarray*}$ , also aus den zu V und W dualen Räumen. $\begin{eqnarray*} \varphi \circ f:=\varphi \circ f \end{eqnarray*}$ ist ein Element aus $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \varphi \circ f: V\to W\to K \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt kann man noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \circ f\in V^* \end{eqnarray*}$ , das was du meintest, und das was ich versucht habe, nämlich dass $\begin{eqnarray*} f^* \end{eqnarray*}$ auch ein Homomorphismus ist!

So werd ich mir das erstmal merken. Eine letzte Frage bleibt mir, der Dualraum lässt sich ja wieder dualisieren. Wenn ich das recht verstehe, erhält man dann $\begin{eqnarray*} V^{**}:=Hom_K(V^*,K) \end{eqnarray*}$ . Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ müsste dann ja wieder die gleiche Gestalt haben wie $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?

Verläuft dann die biduale Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{**}:W^{**}\to V^{**} \end{eqnarray*}$ ? Und wie kann man die vernünftig definieren, ist das dann $\begin{eqnarray*} \psi \mapsto \psi \circ f^* \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \psi \in W^{**} \end{eqnarray*}$ ? Wie läuft denn da die Verknüpfung!?

17.01.2011, 15:46

system-agent

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Um das alles tun zu können, muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung sein.

Zitat:

Original von lama_3
Wenn ich das recht verstehe, erhält man dann $\begin{eqnarray*} V^{**}:=Hom_K(V^*,K) \end{eqnarray*}$ .

Ja, nach Definition des Dualraumes.

Zitat:

Original von lama_3
Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ müsste dann ja wieder die gleiche Gestalt haben wie $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?

Ja, $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind dasselbe [Isomorph], aber das muss man beweisen.

Also ein lineares $\begin{eqnarray*} f: V\to W \end{eqnarray*}$ liefert eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f^* : W^*\to V^* \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f^*(\varphi):=\varphi\circ f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varphi\in W^* \end{eqnarray*}$ .

Und ja, weil du oben schon gezeigt hast dass $\begin{eqnarray*} f^* \end{eqnarray*}$ linear ist, gibt das wiederum Anlass zu einer Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{**}: V^{**}\to W^{**} \end{eqnarray*}$ .
Ja, die Definition von $\begin{eqnarray*} f^{**} \end{eqnarray*}$ hast du richtig angegeben. Mit ein paar Überlegungen kriegst du auch $\begin{eqnarray*} f^{**}=f \end{eqnarray*}$ .

17.01.2011, 16:39

lama_3

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Hmm dann versuch ich mich mal:

Also wenn es einen Isomorphismus zwischen V und V** gibt, also eine isomorphe Abbildung $\begin{eqnarray*} g:V\to V^{**} \end{eqnarray*}$ , dann wird dadurch ja ein Vektor v auf eine Abbildung abgebildet, richtig soweit?

Dementsprechend wird $\begin{eqnarray*} v\mapsto h_v \end{eqnarray*}$ wobei hier $\begin{eqnarray*} h_v: V^*\to K \end{eqnarray*}$ , weil die Elemente aus $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ ja alles Homomorphismen von $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ sein müssen. Dass das ein Isomorphismus ist, übersteigt meine Fähigkeiten als Matheanfänger! ^^

Soweit so gut! Augenzwinkern

Bei der bidualen Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{**}:W^{**}\to V^{**} \end{eqnarray*}$ rätsel ich aber trotzdem noch ein wenig hin- und her. unglücklich

Ich würde sagen
$\begin{eqnarray*} f^{**}:W^{**}\to V^{**} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi \mapsto \psi \circ f^*:W^*\to V^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi \mapsto \varphi \circ f \end{eqnarray*}$ (das sollte ein wenig eingerückt sein, kann ich aber nicht!)

Aber wie betrachte ich jetzt den Weg eines kleinen einsamen v durch diesen Wust an Abbildungen?!

17.01.2011, 22:50

Evelyn89

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Was die Anwendung der Dualität anbelangt:

in der Funktionalanalysis ist das z.B. wichtig - Rolle der Funktionale.

und in der (linearen) Optimierung.
Dort kann man die Optimalität einer Lösung mit Hilfe des dualen Problems beweisen.
Bloß den Zusammenhang zwischen dem Dualitätsbegriff aus der Optimierung und dem aus der linearen Algebra/Funktionalanalysis sehe ich da ehrlich gesagt nicht.... verwirrt

Vielleicht kann uns da jemand anders aufklären.

18.01.2011, 08:43

system-agent

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Zitat:

Original von lama_3
Also wenn es einen Isomorphismus zwischen V und V** gibt, also eine isomorphe Abbildung $\begin{eqnarray*} g:V\to V^{**} \end{eqnarray*}$ , dann wird dadurch ja ein Vektor v auf eine Abbildung abgebildet, richtig soweit?

Ja. Auch wenn "isomorphe Abbildung" nicht gerade Standard ist. Du meinst, dass es einen Isomorphismus gibt.

Zitat:

Original von lama_3
Dementsprechend wird $\begin{eqnarray*} v\mapsto h_v \end{eqnarray*}$ wobei hier $\begin{eqnarray*} h_v: V^*\to K \end{eqnarray*}$ , weil die Elemente aus $\begin{eqnarray*} V^{**} \end{eqnarray*}$ ja alles Homomorphismen von $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ sein müssen. Dass das ein Isomorphismus ist, übersteigt meine Fähigkeiten als Matheanfänger! ^^

Das hast du richtig verstanden.

Am Besten ist es nicht ein einsames $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zu betrachten das durch den Wust der Abbildungen gejagt wird.
Zuerst einmal solltest du verstehen wieso $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ isomorph sind [hier allerdings immer bloss für $\begin{eqnarray*} \dim_K(V)<\infty \end{eqnarray*}$ !].
Das geht wenn du dir eine Basis $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nimmst. Mit dieser Basis kommen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n : V\to K \end{eqnarray*}$ [also Elemente von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ] und diese sind auf den Basisvektoren definiert durch $\begin{eqnarray*} x_i(e_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$ [Kroneckerdelta; also =1 falls i=j und 0 sonst].
Nun kannst du durch Rechnung überprüfen, dass diese Abbildungen $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ erzeugen und auch linear unabhängig sind. Damit folgt $\begin{eqnarray*} V\simeq V^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dim_K(V)=\dim_K(V^*) \end{eqnarray*}$ .
Beachte allerdings, dass diese Isomorphismen von der Wahl einer Basis abhängen.

Alleine damit folgt schon dass ein Dualraum dieselbe Dimension wie sein Vektorraum hat, also $\begin{eqnarray*} \dim_K(V)=\dim_K(V^*)=\dim_K(V^{**}) \end{eqnarray*}$ .
Nun mache eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g: V\to V^{**} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} v\mapsto g_v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_v(\varphi):=\varphi(v)\in K \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varphi\in V^* \end{eqnarray*}$ .
Mit ein bischen Rechnung siehst du, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv ist und damit auch gleich ein Isomorphismus. Es folgt $\begin{eqnarray*} V\simeq V^{**} \end{eqnarray*}$ [auch wenn wir das wegen $\begin{eqnarray*} V\simeq V^*\simeq V^{**} \end{eqnarray*}$ schon wussten Augenzwinkern

].

Damit kann man nun einsehen, wieso $\begin{eqnarray*} f^{**}=f \end{eqnarray*}$ , aber es ist ein bischen mühsam.

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