Nullvektor im Vektorraum

17.01.2011, 14:13

allahahbarpingok

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Nullvektor im Vektorraum

Moin moin,

kurze Frage zum Nullvektor:

Ich habe einen Vektorraum V über den komplexen Folgen $\begin{eqnarray*} a_{n} mit n\in IN \end{eqnarray*}$

Der Nullvektor wäre foglich die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , welche nur Nullen erzegut? Also:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber genauso erzeugt diese Folge nur Nullen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 0* 2n \end{eqnarray*}$

Jetzt ist der Nullvektor in einem Vektorraum, aber immer eindeutig bestimmt. Was ist jetzt richtig?

17.01.2011, 14:22

klarsoweit

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RE: Nullvektor im Vektorraum
Verstehe die Frage nicht so ganz. In meiner Welt ist 0 * 2n immer noch Null.

17.01.2011, 14:25

Iorek

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Ich nehme an, allahahbarpingok stört sich an den "verschiedenen Darstellungen" des Nullvektors; es ist $\begin{eqnarray*} a_n=0=0\cdot n^2=e^0-1=\sqrt{n^2}-n \end{eqnarray*}$ und somit hat man 4 "verschiedene" Nullvektoren.

17.01.2011, 14:41

allahahbarpingok

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Was mich irritiert ist, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 0* 2n = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Aber es doch eine anderer Vektor aus meinem Vektorraum ist als $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder etwa nicht?

17.01.2011, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Was mich irritiert ist, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 0* 2n = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Was irritiert dich daran?

Zitat:

Original von allahahbarpingok
Aber es doch eine anderer Vektor aus meinem Vektorraum ist als $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder etwa nicht?

Nein. Wie Iorek schon ausführte, gibt es tausende von Möglichkeiten für die Darstellung ein- und desselben Objekts.

17.01.2011, 15:02

allahahbarpingok

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Angenommen, ich soll den Kern einer linearen Abbildung T: V -> V bestimmen. V ist immernoch gleich definiert. Dann sind dies alle Vektoren, also Folgen die Nullen erzeugen. Jetzt möchte ich das allgemein fassen: Es sind doch offensichtlich alle Folgen, die so aufgebaut sind: Term * 0 oder reicht es zu sagen: $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = 0 liegt im Kern.

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17.01.2011, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Dann sind dies alle Vektoren, also Folgen die Nullen erzeugen.

Ich würde sagen, das sind alle Folgen, bei denen T(a_n) = 0 ist.

17.01.2011, 16:09

allahahbarpingok

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Jop und dies sind offensichtlich genau die Folgen, so dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, also auch: $\begin{eqnarray*} a_{n} = 2n* 0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Letzere Folge kann man demnach durch geschickte Umformungen auf $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ reduzieren, was schließlich unser Kern sein sollte.

Denn $\begin{eqnarray*} T(a_{n}=0) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_{n}=0 \end{eqnarray*}$

Die Abbildung bildet ja auf das selbe ab.

$\begin{eqnarray*} Kern(T) = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} a_{n}=0 \end{eqnarray*}$ }

17.01.2011, 16:14

Iorek

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Wieso sollte denn nur nur die konstante Nullfolge im Kern liegen? verwirrt

verwirrt

Es gibt durchaus lineare Abbildungen wo der Kern mehr als nur die konstante Nullfolge enthält.

17.01.2011, 16:27

allahahbarpingok

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Naja, aber offensichtlich gibt es bei der Abbildung T nur $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , was im Kern liegt oder kann mir hier jemand eine weiter Folge nennen die im Kern(T) liegt.

17.01.2011, 16:33

Iorek

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Du hast doch überhaupt gar keine konkrete Abbildung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ definiert. geschockt

geschockt

17.01.2011, 21:53

allahahbarpingok

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Genau das war das Problem und deswegen kamen wir zu einem Misverständnis. Meine Schuld:

$\begin{eqnarray*} T: V -> V, a_{n} -> a_{n} \end{eqnarray*}$

Und ich bin immer noch der Meinung
$\begin{eqnarray*} Kern(T)= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ }

17.01.2011, 22:53

Iorek

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Deine Abbildung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall die Identität auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , diese ist trivialerweise bijektiv, was sagt das über den Kern?

17.01.2011, 23:58

allahahbarpingok

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Naja der Kern ist dann eben:

$\begin{eqnarray*} Kern(T) := \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} v\in V | v = 0 \end{eqnarray*}$ }

Eben alle Nullvektoren aus V, also alle Folgen die nur Nullen erzeugen.

Ps: Warum schluckt Latex immer meine Klammern {}

18.01.2011, 00:00

Iorek

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Die Abbildung ist bijektiv, also ist sie injektiv, also enthält der Kern nur die 0, in diesem Fall eben die Folge für die alle Folgenglieder 0 sind. Und da gibt es nur eine einzige.

18.01.2011, 09:22

Evelyn89

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Naja der Kern ist dann eben:

[latex]
Ps: Warum schluckt Latex immer meine Klammern {}

Die Klammern {} haben in Latex eine eigene Bedeutung.
Für Mengenklammern versuche es mal hiermit: " \left\{ ...text.... \right\} "

Siehe Formeleditor oder http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX

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