Basis

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mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis
wollt fragen, ob ich das richtig verstanden hab....also ist eine Basis das kleinste Erzeugendensystem

ein Erzeugendensystem sind Vektoren, die den Raum aufspannen, und die Basis besteht ja aus basisvektoren, sind das dann jene, die man mindestens benötigt um den Raum aufspannen zu können?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis
Zitat:
Original von mathemaus24
und die Basis besteht ja aus basisvektoren, sind das dann jene, die man mindestens benötigt um den Raum aufspannen zu können?


Jap, stimmt so weit.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis eines Vektorraumes ist ein minimales Erzeugendensystem des Vektorraumes. Eine Basis eines Vektorraumes ist ein System von linear unabhängigen Vektoren, die den Vektorraum erzeugen.

Eine Basis ist nicht eindeutig, nur die Anzahl der Basisvektoren ist eindeutig, sie heißt Dimension des Vektorraumes. deshalb spricht man nicht (wie du) von der Basis sondern von einer Basis.
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis
und kann man eine Basis nur von Vektorräumen und derern unterräumen bilden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Basis ist ein sehr allgemeiner Begriff. Zum Beispiel gibt es auch eine Basis einer Topologie, Basis eines Logarithmus, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines Moduls, ... und das ist nur Mathematik Big Laugh ... Schädelbasis ... Militärbasis ...
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie bildet man eine basis des Vektorraums der quadratischen Polynome?

Ich kann z.b eine Basis des Nullraumes eines linearen Glgsystems bilden, denn da kann ich mir eine Matrix aufschreiben und mit gauss lösen und dann die Basisvektoren errechnen, aber wie macht man das mit Polynome?
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schauen denn Polynome vom Grad 2 ganz allgemein aus?
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

p(x)=at²+bt+c
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, eine Linearkombination ist gefunden, nun noch eine Basis daraus bestimmen.
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

naja ich denke das eine Basis so aussieht {t², t, 1}, aber ich mach das nur so, weil wir fast immer das als basis nehmen, versteh aber nicht wieso???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch richtig geschrieben, dass eine Basis ein minimales Erzeugendensystem ist.

Du kannst jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 über dem Körper K als folgende Linearkombination darstellen:

mit .

Damit ist {1,x,x²} ein Erzeugendensystem.

Die Frage ist, kann man eines dieser drei Elemente weglassen und hat noch immer ein Erzeugendensystem?
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

naja...ich glaub weglassen kann man nichts, sondern nur durch etwas anderses ergänzen z.B durch {(t-2)²,(t-1), 1}...t² , t und 1 müssen immer in irgendeiner form vorkommen oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in mindestens einem Basispolynom muss der Exponent zwei sein, ansonsten kann man kein Polynom zweiten Grades darstellen.

Wir haben uns nun die Linearkombination der Basis {x²,x,1} angeschaut undsehen, dass wir jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 durch diese Linearkombi darstellen können.

Betrachten wir nun einmal deine Basis und überlegen uns, ob diese ein Erzeugendensystem ist und ob die Elemente linear unabhängig sind.

Welche Bedingngen müssen hierfür erfüllt sein?
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass sich jeder vektor eines VR durch Linearkombinationen der Vektoren des Erzeugendensystemes darstellen lässt...unsere Linkombi war ax²+bx+c und dann kann ich schreiben
at²+bt+c=ß1*(1-t)²+(1-t)*ß2+1*ß3

wenn man das löst kommt man auf

a=ß1
b=-2ß1-ß2
c=ß1+ß2+ß3


wie man die lin unabhängigzeigen könnte weiß ich nicht....ich meine dürfen da die Basiselemente keine vielfache voneinander sein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal ist zu zeigen, dass existieren, so dass jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 als Linearkombination der Elemente des Erzeugendensystems dargestellt werden kann, es ist: , somit ist {(t-1)²,(t-1),1} sicherlich ein Erzeugendensystem, wie du, bis auf Vorzeichenfehler, richtig bemerkt hast.

Die Definition von linearer Unabhängigkeit ist folgende:

Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der 0-Vektor (in diesem Fall das Nullpolynom) nur trivial durch die Linearkombination der Vektoren darstellen lässt.

Das bedeutet, wir müssen prüfen, ob die Linearkombination nur die Löäsungen hat, wenn dem so ist, dann sind die Vektoren (Polynome) linear unabhängig.
mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich dazu eine Matrix aufstellen und für b (0,0,0) (=soll Spaltenvektor sein) einsetzen? und dann A*x=b lösen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man machen, die Idee dabei ist, die Koeffizienten zu vergleichen.

Einfacher ist es jedoch, direkt zu vergleichen:



mathemaus24 Auf diesen Beitrag antworten »

okay...danke


kurz noch würd die matrix so aussehen


1 - 2 1 0
0 1 -1 0
0 0 1 0


???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe das mal als LGS der Form Ax=b und benutze bitte den Formeleditor.

Dann sieht es so aus, als hättest du die Zeilen und Spalten vertauscht.
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