gleichmäßige bzw punktweise konvergenz

23.11.2006, 22:25

piloan

gleichmäßige bzw punktweise konvergenz

Sei $\begin{eqnarray*} {F_n}_{(n \in \mathbb N )} \end{eqnarray*}$ eine Folge von
Verteilungsfunktionen. Angenommen diese Folge konvergiert punktweise gegen eine Funktion F.
1) Muß dann F eine Verteilungsfunktion sein?
2) Dieselbe Frage unter der Voraussetzung, dass F_n gleichmäßig konvergiert.

also ich denke 1.) muss keine sein also kann ich da mit einem gegenbeispiel argumentieren und bei 2.) bin ich mir nicht sicher.

braeuchte hier viell mal hilfe
gru0

24.11.2006, 01:40

sqrt(2)

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RE: gleichmäßige bzw punktweise konvergenz

Zitat:

Original von piloan
also ich denke 1.) muss keine sein also kann ich da mit einem gegenbeispiel argumentieren und bei 2.) bin ich mir nicht sicher.

Ich kann mir da eine Folge von Funktionen vorstellen, die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, $\begin{eqnarray*} \| F_n \|=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ...

24.11.2006, 05:16

piloan

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hmhmh ...also muss F eine Verteilungsfkt (bei gleichmaeßiger Konverg)
nur wie beweis ich die beiden aussagen.....zur punktweisne konvergenz hab ich noch kein gegenbps gefunden ... Lehrer

24.11.2006, 05:53

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist keine Verteilungsfunktion, denn $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} F(x)~\dx=0\neq1 \end{eqnarray*}$ .

Da jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge auch punktweise konvergent ist, wäre die Funktionenfolge, die ich meine, ein Gegenbeispiel für beides.

Als Tipp hab ich dir schon $\begin{eqnarray*} \| F_n \|=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ schon gegeben...

24.11.2006, 07:38

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@sqrt(2)

Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} \| F_n \|=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , d.h., welche Norm? Oder was soll diese Schreibweise bedeuten?

24.11.2006, 07:43

piloan

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dachte mir zu 1 mit der folge F_n die 0 ist fuer x<0 und 1/n*x fuer $\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq n \end{eqnarray*}$ 1 sonst...mit der sollte es klappen jedoch sind meine vermutungen wogegen die pktweise konvergiert immer falsch...

24.11.2006, 07:49

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Ja, das ist die stetige gleichmäßige Verteilung auf $\begin{eqnarray*} [0,n] \end{eqnarray*}$ , die passt als Gegenbeispiel zu 1). Die punktweise Konvergenz läuft natürlich gegen F(x)=0, was denn sonst.

Als Gegenbeispiel zu 2) ist das aber nicht geeignet. Umso interessierter bin ich, welches Gegenbeispiel sqrt(2) da meint, gefunden zu haben...

24.11.2006, 07:53

piloan

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das versteh ich auch nicht....aber ich denke auch das F dann eine Vertelungskfkt sein muss ...kan nes aber nicht beweisen

24.11.2006, 08:04

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Was heißt denn "gleichmäßige Konvergenz" hier? Nun, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} |F(x) - F_n(x)| < \varepsilon \qquad \forall x\in\mathbb{R},\;\forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Umgestellt ergibt das

$\begin{eqnarray*} F_n(x) - \varepsilon < F(x) < F_n(x) + \varepsilon \qquad \forall x\in\mathbb{R},\;\forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ,

und damit kannst du nach und nach alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion für $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nachweisen, indem du natürlich die entsprechenden Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ nutzt.

24.11.2006, 08:28

sqrt(2)

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Die Norm, die ich meinte, ist die Maximumsnorm. Blöderweise hab ich Verteilungsfunktion mit Dichefunktion verwechselt (siehe oben die Argumentation mit dem Integral) und daher die Dichtefunktion der Gleichverteilung im Kopf gehabt... Hammer

24.11.2006, 09:15

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Hab ich mir schon fast gedacht. Augenzwinkern

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