Relationen

17.01.2011, 22:10

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Relationen

Meine Frage:
Hi,
ich habe ein Problem mit Relationen und zwar weiß ich nicht wann eine Relation reflexiv, irreflexiv, asymmetrisch, antisymetrisch, transitiv ist. Kann mir das jemand erklären?
Ich habe folgende Aufgabe dazu gestellt bekommen:

Für $\begin{eqnarray*} M = \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ ist die Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq M \times M \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} R = \left\{ \left(1,1\right), \left(2,1\right), \left(3,3\right), \left(4,3\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Geben Sie Mengen $\begin{eqnarray*} R1, R2, R3, R4 \subseteq M \times M \end{eqnarray*}$ an, so dass

1. $\begin{eqnarray*} R \cup R1 \end{eqnarray*}$ symmetrisch, reflexiv und nicht transitiv ist

2. $\begin{eqnarray*} R \cup R2 \end{eqnarray*}$ symmetrisch, transitiv und nicht reflexiv ist

3. $\begin{eqnarray*} R \cup R3 \end{eqnarray*}$ transitiv, reflexiv und nicht symmetrisch ist

4. $\begin{eqnarray*} R \cup R4 \end{eqnarray*}$ nicht transitiv, nicht reflexiv und nicht symmetrisch ist

Wäre sehr nett wenn mir jemand bei meinem Problem helfen könnte. Danke schonmal.

Meine Ideen:
Ich habe selber noch keine Idee zur Lösung der Aufgabe weil ich Eigenschaften noch nicht verstanden habe.

17.01.2011, 22:18

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
es ist immer ganz sinnvoll erst mal die Begriffe zu googeln, die du nicht verstanden hast (oder im Skript die Definitionen nachzulesen).

Dabei kommst du z.B. auf

http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R = \left\{ \left(1,1\right), \left(2,1\right), \left(3,3\right), \left(4,3\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Dies ist meiner Meinung nach so zu lesen, dass 1 auf 1 abgebildet wird, 2 auf 1 abgebildet wird, 3 auf 3 abgebildet wird und 4 auf 3 abgebildet wird.

Versuch doch mal, ob du damit der Lösung deiner Aufgabe näherkommst.

lg
Duude

17.01.2011, 23:45

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ Hast Du inzwischen die Bedeutung der Eigenschaften recherchiert?

Ich gebe Dir mal ein kieines, einführendes Beispiel - damit mußt Du zumindest einen Teil der Aufgaben lösen können.

Eine Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq M \times M \end{eqnarray*}$ heißt genau dann symmetrisch, wenn für je zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in R \end{eqnarray*}$ gilt: wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Relation zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ steht, dann steht auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in Relation zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Wenn ein Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Relation zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ steht, so wird dies formal dargestellt dadurch, daß das Paar $\begin{eqnarray*} (a, b) \in R \end{eqnarray*}$ ist. Für die Symmetrie muß dann aber auch $\begin{eqnarray*} (b, a) \in R \end{eqnarray*}$ gelten! Und das für je zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

Ein Beispiel aus der Alltagswelt ist z.B die symmetrische Relation "verheiratet mit": Wenn Eva verheiratet ist mit Adam, dann ist auch Adam verheiratet mit Eva. Mit $\begin{eqnarray*} M = \{Adam, Eva\} \end{eqnarray*}$ (zu paradisischen Zeiten Big Laugh

Big Laugh

) ist dann $\begin{eqnarray*} R = \{(Adam, Eva), (Eva, Adam)\} \end{eqnarray*}$ symmetrisch, da für alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die oben angegebene Eigenschaft für die Symmetrie gilt (es gibt ja nur zwei Menschen in dieser Relation).

Das ganze jetzt für Dein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist so wie es dort definiert ist, nicht symmetrisch!
Denn es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} (2, 1) \in R \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} (1, 2) \in R \end{eqnarray*}$ !

Fehlen nun in einer Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ bestimmte Paare, wie z.B. $\begin{eqnarray*} (1, 2) \end{eqnarray*}$ , so muß - das ist Deine Aufgabe - $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ um die Paare ergänzt werden, die für eine Eigenschaft der Relation, z.B. die Symmetrie, fehlen. Die fehlenden Paare sollen dann z.B. in $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ zusammengefast werden und mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ vereinigt werden, um die gewünschte Eigenschaft zu erhalten.

Aber Achtung! In Aufgabe 1. z.B. soll $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ nicht nur die Paare enthalten die die Relation z.B. nur symmetrisch machen, sondern es sollen alle Paare enthalten sein, um jeweils alle drei genannten Eigenschaften gleichzeitig zu erfüllen!

So, auf geht's!

1. Definitionen der genannten Eigenschaften besorgen.
2. Sich klarmachen, was diese bedeuten.
3. Die Relation auf fehlende Paare untersuchen und diese in die zu ergänzende Relation stecken.

Und nochmal Achtung! Manche Relationseigenschaften dürfen laut Aufgabenstellung nicht gelten!

17.01.2011, 23:54

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duude
Dies ist meiner Meinung nach so zu lesen, dass 1 auf 1 abgebildet wird, 2 auf 1 abgebildet wird, 3 auf 3 abgebildet wird und 4 auf 3 abgebildet wird.

Das ist nicht korrekt - hier wird nichts aufeinander abgebildet!

$\begin{eqnarray*} (2, 1) \in R \end{eqnarray*}$ bedeutet z.B., daß 2 in Relation zu 1 steht. Erläuterung dazu siehe oben.

18.01.2011, 22:24

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir erstmal eine Tabelle mit allen Teilmengen gemacht

$\begin{eqnarray*} R1 = \left\{ \left(1,1\right) \right\}<br /> R2 = \left\{ \left(2,1\right) \right\}<br /> R3 = \left\{ \left(3,3\right) \right\}<br /> R4 = \left\{ \left(4,3\right) \right\}<br /> R5 = \left\{ \left(1,1\right),\left(2,1\right) \right\}<br /> R6 = \left\{ \left(1,1\right), \left(3,3\right) \right\}<br /> R7 = \left\{ \left(1,1\right), \left(4, 3\right) \right\}<br /> R8 = \left\{ \left(2,1\right),\left(3, 3\right) \right\}<br /> R9 = \left\{ \left(2,1\right),\left(4, 3\right) \right\}<br /> R10 = \left\{ \left(3, 3\right),\left(4, 3\right) \right\}<br /> R11 = \left\{ \left(1,1\right),\left(2, 3\right),\left(3, 3\right) \right\}<br /> R12 = \left\{ \left(1,1\right),\left(2, 1\right),\left(4, 3\right) \right\}<br /> R13 = \left\{ \left(1,1\right),\left(3, 3\right),\left(4, 3\right) \right\}<br /> R14 = \left\{ \left(2,1\right),\left(3, 3\right),\left(4, 3\right) \right\}<br /> R15 = \left\{ \left(1,1\right),\left(2, 1\right),\left(3, 3\right),\left(4, 3\right) \right\} \end{eqnarray*}$

und die leere Menge

jetzt habe ich erstmal auf Symmetrie geprüft.

Das wären dann:

$\begin{eqnarray*} R1, R3, R6 \end{eqnarray*}$ und die leere Menge

Stimmt das soweit?

18.01.2011, 22:42

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich weiß nicht, was Du damit willst.

Zunächst:

1. Du benutzt hier Bezeichnungen für Mengen $\begin{eqnarray*} R_1, R_2, R_3 \ldots \end{eqnarray*}$ , die in Deiner Aufgabenstellung eine ganz andere Bedeutung haben. Du verwendetst die Bezeichnungen also nicht eindeutig!

2. Du solltest auch eindeutiger formulieren! "Ich habe mir erstmal eine Tabelle mit allen Teilmengen gemacht" - ich kann's zwar durch zweimal Hingucken sehen, aber schreib doch bitte in Zukunft, Teilmengen von welcher Menge.

Erinnere Dich an die Aufgabenstellung! Du mußt zu $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Paare gebildet aus Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hinzufügen, die $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ - z.B. in Aufgabenteil 1) - symmetrisch, reflexiv, und nicht transitiv machen. Diese fehlenden Paare bilden in Aufgabenteil 1) die Menge $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ , die Du mit Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ vereinigst, damit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die geforderten Eigenschaften bekommt!

Was Du mit Deinen $\begin{eqnarray*} R_1 \ldots R_{15} \end{eqnarray*}$ willst, weiß ich nicht!

Anzeige

18.01.2011, 23:17

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso jetzt habe ich die Aufgabe verstanden.
Das war ja völlig unnötig mit der Tabelle

Mein Anfang für die Symmetrie wäre, dass $\begin{eqnarray*} R1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(1,2\right), \left(3,4\right) \right\} \end{eqnarray*}$ enthalten muss, weil $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \in R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \in R1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(y,x\right) \in R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left(y,x\right) \in R1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

19.01.2011, 00:01

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast - aber schon wesentlich besser!

Da $\begin{eqnarray*} (2,1) \in R \end{eqnarray*}$ , muß für die Symmetrie auch $\begin{eqnarray*} (1,2) \in R \end{eqnarray*}$ sein. Ist es aber nicht! Also mußt Du es hinzufügen um Symmetrie zu erreichen. Dasselbe für $\begin{eqnarray*} (4,3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,4) \end{eqnarray*}$ . Diese fehlenden Paare nimmst Du schonmal zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ .

So weit, so gut!

Jetzt prüfe, ob überhaupt oder welche anderen Paare noch zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ genommen werden müssen, damit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auch die beiden anderen geforderten Eigenschaften bekommt!

Deine allgemeine Darstellung ist "Blödsinn" ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die allgemeine Definition der Symmetrierelation habe ich weiter oben schon aufgeschrieben. Also: wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,x) \notin R \end{eqnarray*}$ , dann mußt Du $\begin{eqnarray*} (y,x) \end{eqnarray*}$ noch zu $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ (über die Vereinigung mit $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ - im Sinne der Aufgabe) hinzufügen.

19.01.2011, 00:18

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss ich noch $\begin{eqnarray*} \left(2, 2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(4, 4\right) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} R1 \end{eqnarray*}$ hinzufügen, damit $\begin{eqnarray*} R \cup R1 \end{eqnarray*}$ reflexiv wird oder?

19.01.2011, 00:32

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder nur fast - $\begin{eqnarray*} (2,2), (4,4) \end{eqnarray*}$ stimmen!

Wie lautet die allgemeine Definition für "Reflexivität" einer Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} M \times M \end{eqnarray*}$ ?

//edit Ich gehe jetzt erstmal essen! Bin in ca. einer Stunde zurück!

19.01.2011, 00:42

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left(x,x\right) \in R \end{eqnarray*}$

bin erstmal schlafen. Gute Nacht.

19.01.2011, 00:45

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau! Und was schließt Du jetzt daraus?

Ist bei Dir für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$ ?

//edit Schlafen um diese Zeit? Schläfer

Schläfer

19.01.2011, 00:47

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

also $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ auch noch?

19.01.2011, 00:48

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn unsere Definition stimmt - und davon gehe ich aus - dann ja!

Bis morgen! Wink

Wink

19.01.2011, 10:36

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} R2 = \left\{\left(1,2\right), \left(1,3\right), \left(1,4\right), \left(2,2\right), \left(2,3\right), \left(2,4\right), \left(3,1\right), \left(3,2\right), \left(3,4\right), \left(4,1\right), \left(4,2\right), \left(4,4\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} R \cup R2 \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall nicht reflexiv, weil $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ nicht enthalten ist.

19.01.2011, 23:56

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir erst noch bei Aufgabenteil 1.

Die dritte Bedingung lautet ja, daß $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ nicht transitiv sein soll.

Schau Dir bitte nochmals die Definition einer transitiven Relation bezogen auf unsere Aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} \forall x, y, z \in M: (x,y) \in R \cup R_1 \wedge (y,z) \in R \cup R_1 \Rightarrow (x,z) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ .

So, wie $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ jetzt aussieht, ist diese Menge entsprechend der formalen Definition transitiv - z.B. gilt $\begin{eqnarray*} (1,2) \in R \cup R_1 \wedge (2,1) \in R \cup R_1 \wedge (1,1) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x = 1, y = 2, z = 1 \end{eqnarray*}$ . Und dies gilt für alle Paare aus $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ .

Mir ist es momentan unklar, welche Paare man noch aus Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bilden könnte, die die Transitivität zerstören könnte.
//edit ==> Jetzt ist es mir klar!

Auch bezweifele ich momentan, ob eine Relation, die reflexiv und symmetrisch ist, überhaupt nicht-transitiv sein kann.
//edit => Ja, das kann sie durchaus sein!

Falls ich hier keinen Denkfehler habe, frage ich mich dann auch, ob die Aufgabestellung so in Ordnung ist.
// edit ==> Die Aufgabestellung ist OK!

20.01.2011, 00:13

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
$\begin{eqnarray*} R2 = \left\{\left(1,2\right), \left(1,3\right), \left(1,4\right), \left(2,2\right), \left(2,3\right), \left(2,4\right), \left(3,1\right), \left(3,2\right), \left(3,4\right), \left(4,1\right), \left(4,2\right), \left(4,4\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} R \cup R2 \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall nicht reflexiv, weil $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ nicht enthalten ist.

Warum hast Du die folgenden Paare zu $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ hinzugefügt:
(1,3), (1,4), (2,3) (2,4) (3,1) (3,2), (4,1), (4,2) ?

Versuche, die Definition für Transitivität richtig zu verstehen!

Die Begründung für nicht-Reflektivität ist korrekt!

20.01.2011, 01:22

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Bleiben wir erst noch bei Aufgabenteil 1.

Die dritte Bedingung lautet ja, daß $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ nicht transitiv sein soll.

Schau Dir bitte nochmals die Definition einer transitiven Relation bezogen auf unsere Aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} \forall x, y, z \in M: (x,y) \in R \cup R_1 \wedge (y,z) \in R \cup R_1 \Rightarrow (x,z) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ .

So, wie $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ jetzt aussieht, ist diese Menge entsprechend der formalen Definition transitiv - z.B. gilt $\begin{eqnarray*} (1,2) \in R \cup R_1 \wedge (2,1) \in R \cup R_1 \wedge (1,1) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x = 1, y = 2, z = 1 \end{eqnarray*}$ . Und dies gilt für alle Paare aus $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ .

Nach einigem Nachdenken und Hinschauen bin ich jetzt doch zu einer Lösung gekommen. Du mußt noch Paare von Elementen aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ hinzufügen, damit $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ nicht-transitiv wird!

Es gibt solche Paare! Allerdings nicht eindeutig - es gibt verschiedene Lösungen!

20.01.2011, 12:59

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. Bis jetzt ist haben wir $\begin{eqnarray*} R1 = \left\{ \left(1,2\right), \left(3,4\right), \left(2,2\right), \left(4,4\right), \left(5,5\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich die Definition selber auf Papier geschrieben habe, habe ich sie verstanden.

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ ?

Ist $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ in sich selber transitiv?

20.01.2011, 13:52

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
zu 1. Bis jetzt ist haben wir $\begin{eqnarray*} R1 = \left\{ \left(1,2\right), \left(3,4\right), \left(2,2\right), \left(4,4\right), \left(5,5\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich die Definition selber auf Papier geschrieben habe, habe ich sie verstanden.

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ ?

Ist $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ in sich selber transitiv?

$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ stimmt ja bis jetzt!

Du mußt aber immer $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ als Ganzes betrachten, um die Eigenschaften zu überprüfen!

Mit diesem $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R \cup R_1 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4), (5,5)\} \end{eqnarray*}$ nun aber immer noch transitiv!

Etwas weiter oben habe ich z.B. gezeigt, daß die Paare $\begin{eqnarray*} (1,2), (2,1), (1,1) \end{eqnarray*}$ "transitiv zusammenhängen", indem ich die Variablen $\begin{eqnarray*} x = z = 1 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe. Für $\begin{eqnarray*} (5,5) \end{eqnarray*}$ nehmen wir $\begin{eqnarray*} x = y = z = 5 \end{eqnarray*}$ , und schon haben wir wieder diesen Zusammenhang.

Du mußt also noch ein paar Paare aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bilden und zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ hinzufügen, um die Transitivität wieder zu zerstören!

20.01.2011, 16:14

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme einfach nicht drauf.

Egal welches Paar ich aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bilde, es hängt immer mit einem anderen Paar aus $\begin{eqnarray*} R \cup R1 \end{eqnarray*}$ transitiv zusammen.

z.B. :

$\begin{eqnarray*} \left(5,4\right), \left(4,4\right), \left(5,4\right) \end{eqnarray*}$

da wäre $\begin{eqnarray*} x = 5, y =4 , z = 4 \end{eqnarray*}$

21.01.2011, 00:18

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
Ich komme einfach nicht drauf.

Egal welches Paar ich aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bilde, es hängt immer mit einem anderen Paar aus $\begin{eqnarray*} R \cup R1 \end{eqnarray*}$ transitiv zusammen.

z.B. :

$\begin{eqnarray*} \left(5,4\right), \left(4,4\right), \left(5,4\right) \end{eqnarray*}$

da wäre $\begin{eqnarray*} x = 5, y =4 , z = 4 \end{eqnarray*}$

Du hast die Definition der Transitivität noch nicht richtig verstanden!

Jetzt nehmen wir zu der Relation, die wir schon aufgebaut haben, noch $\begin{eqnarray*} (4,5) \end{eqnarray*}$ hinzu. Damit die Symmetrie erhalten bleibt, müssen wir auf jeden Fall auch noch $\begin{eqnarray*} (5,4) \end{eqnarray*}$ hinzufügen.

Und das ist schon unsere Lösung! Warum?

Ich fasse nochmal zusammen, was wir jetzt haben:

$\begin{eqnarray*} R = \{(1,2), (2,2), (3,4), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5) \} \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} R \cup R_1 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)\} \end{eqnarray*}$ .

Der Zusammenhang zwischen den Paaren $\begin{eqnarray*} \left(5,4\right), \left(4,4\right), \left(5,4\right) \end{eqnarray*}$ , wie Du ihn oben beschrieben hast, stimmt zwar. Aber laut der Definition der Transitivität muß dieser Zusammenhang für alle Paare in der Relation gelten!

Hier nochmal die Definition der Transitivität: $\begin{eqnarray*} \forall x, y, z \in M: (x,y) \in R \cup R_1 \wedge (y,z) \in R \cup R_1 \Rightarrow (x,z) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ .

Hier nun zwei Paare, für die dieser Zusammenhang nicht gilt: $\begin{eqnarray*} (3,4) \in R \cup R_1 \wedge (4,5) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ . Entsprechend der Definition der Transitivität müßte nun auch $\begin{eqnarray*} (3,5) \in R \cup R_1 \end{eqnarray*}$ sein. Dies gilt aber nicht! Also gilt die Transitivitätsbeziehung hier nicht für alle Paare der Relation. Somit ist die Relation nicht transitiv!

Die restlichen Aufgaben sind nun erstmal für Dich!
Probier's mal für alle aus. Wenn Probleme auftreten kannst Du natürlich wieder nachfragen!

Bis dann!
Roman Wink

Wink

23.01.2011, 01:22

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
$\begin{eqnarray*} R2 = \left\{\left(1,2\right), \left(1,3\right), \left(1,4\right), \left(2,2\right), \left(2,3\right), \left(2,4\right), \left(3,1\right), \left(3,2\right), \left(3,4\right), \left(4,1\right), \left(4,2\right), \left(4,4\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} R \cup R2 \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall nicht reflexiv, weil $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ nicht enthalten ist.

Ich habe $\begin{eqnarray*} R \cup R_2 \end{eqnarray*}$ jetzt nicht im Detail auf Symmetrie und Transitivität geprüft - Stichproben scheinen aber nicht dagegen zu sprechen. Und richtig, die Relation ist nicht reflexiv.

Aber warum ist sie so verdammt groß?

Es hätte völlig ausgereicht, $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ so zu definieren: $\begin{eqnarray*} R_2 = \{(1,2), (2,2), (3,4), (4,4)\} \end{eqnarray*}$ . Schon jetzt wäre $\begin{eqnarray*} R \cup R_2 \end{eqnarray*}$ symmetrisch, transitiv und nicht reflexiv.

Ich vermute, daß Du zum Zeitpunkt der Abfassung dieser Lösung die Definitionen für Symmetrie und Transitivität noch nicht richtig interpretiert hast (tust Du es jetzt?).

Vor allen Definitionen steht zwar $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: \ldots \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall x, y \in M: \ldots \end{eqnarray*}$ usw.

Aber nur für die Reflexivität heißt dies, daß wirklich alle Paare $\begin{eqnarray*} (x,x) \end{eqnarray*}$ in der Relation vorkommen müssen.

Bei den anderen Definitionen ist dies nicht so, z.B. bei der Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} \forall x, y \in M: (x, y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \end{eqnarray*}$

Diese Definition fordert nicht, daß für alle Paare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,x) \end{eqnarray*}$ die Symmetriebeziehung gelten muß, diese Paare also in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein müssen!

Vielmehr steht hinter dem Allquantor eine "wenn - dann"-Beziehung (dies zeigt der Folgerungspfeil " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "): Nur wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ , dann muß auch $\begin{eqnarray*} (y,x) \in R \end{eqnarray*}$ gelten, um die Symmetrie zu erfüllen.

Da nun $\begin{eqnarray*} (4,3) \in R \end{eqnarray*}$ , muß auch $\begin{eqnarray*} (3,4) \end{eqnarray*}$ hinzugefügt werden, um Symmetrie zu garantieren.

Aber weder $\begin{eqnarray*} (2,3) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} (3,2) \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Also muß aus Symmetriegründen auch keines dieser Paare zu $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hinzugefügt werden. Was Du aber dennoch getan hast - wahrscheinlich deshalb, weil Du die Definition mißverstanden hast.

Analog kann für die Transitivität argumentiert werden.

Hinweis: Ich behaupte nicht, daß Deine Lösung mit $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ falsch ist!
Aber Deine Lösung läßt vermuten, daß Du die Definitionen nicht richtig interpretiert hast!

23.01.2011, 13:43

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir $\begin{eqnarray*} R \cup R2 \end{eqnarray*}$ komplett anschaue, leuchtet es mir ein. Ich hatte die Transitivität falsch verstanden

für $\begin{eqnarray*} R \cup R3 \end{eqnarray*}$ hätte ich folgenden Vorschlag. Ich hoffe diesmal habe ich es verstanden.

$\begin{eqnarray*} R3 = \left\{ \left(2,2\right), \left(4,4\right), \left(5,5\right) \right\} \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 23:32

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
für $\begin{eqnarray*} R \cup R3 \end{eqnarray*}$ hätte ich folgenden Vorschlag. Ich hoffe diesmal habe ich es verstanden.

$\begin{eqnarray*} R3 = \left\{ \left(2,2\right), \left(4,4\right), \left(5,5\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Sieht richtig aus! Freude

Freude

23.01.2011, 23:39

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow danke

smile

und bei dem letzten würde ich einfach $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ nehmen weil es dann ja nichts von den drei eigenschaften aufweist.

23.01.2011, 23:49

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
und bei dem letzten würde ich einfach $\begin{eqnarray*} \left(5,5\right) \end{eqnarray*}$ nehmen weil es dann ja nichts von den drei eigenschaften aufweist.

Nein, Nein, Nein!

Es ist zwar wieder nicht falsch, aber sie Dir doch mal wieder $\begin{eqnarray*} R \cup R_4 \end{eqnarray*}$ an. Was mußt Du zu $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hinzufügen, damit es die genannten Eigenschaften hat? NICHTS!

Also: $\begin{eqnarray*} R_4 = \{\} \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 23:59

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Ich dachte ich muss immer was hinzufügen.
noch eine Verständnisfrage: Ist die leere Menge eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2011, 00:03

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sebastian123
Achso. Ich dachte ich muss immer was hinzufügen.
noch eine Verständnisfrage: Ist die leere Menge eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

Du fügst ja auch etwas hinzu: eine leere Menge $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu den Teilmengen - es gilt:

$\begin{eqnarray*} \{\} \subseteq M \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} M \subseteq M \end{eqnarray*}$

24.01.2011, 00:08

Sebastian123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann bedanke ich mich bei dir. Du warst mir eine sehr große Hilfe. Hätte das wohl sonst nicht auf die Reihe bekommen Big Laugh

Big Laugh

Werde wohl ab und zu noch vorbei schauen wenn ich wieder Schwierigkeiten bekomme

24.01.2011, 00:11

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gerne geschehen!

Hilft mir immer, alte Sachen wieder aufzufrischen - so uneigennützig bin ich also garnicht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann bis zum nächsten Thema!
Roman Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »