Lineare Unabhängigkeit prüfen!

17.01.2011, 22:49	Isssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit prüfen! Meine Frage: Ich soll die lineare Unabhängigkeit überprüfen. a1(x)= x^4 - 2x -1 a2(x)= 3x^4 -2x^3 + 5x^2 -2 a3(x)= x^3 +x^2 +x a4(x)= 7x^2 + 8x +1 Meine Ideen: Löst man die Aufgabe nach Gauß?
18.01.2011, 10:58	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit prüfen! Ja, denn: Sind $\begin{eqnarray} \lambda_1,\cdots,\lambda_4 \end{eqnarray}$ reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^4 \lambda_i a_i(x)=0 \end{eqnarray}$ (wo die 0 das Nullpolynom ist) so kann man einfach auf der linken Seite nach Potenzen von x zusammenfassen. Das führt dann auf ein lineares Gleichungssystem in den Lambdas.
18.01.2011, 19:12	Isssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich bekomme für x = 0 heraus. Stimmt das so?
18.01.2011, 19:27	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
nein - die Unbekannten sind $\begin{eqnarray} \lambda_1,\cdots,\lambda_4 \end{eqnarray}$ . Du musst prüfen, ob das entstehende Glsystem nur die triviale Lösung (alle Lambda =0) hat oder nicht.
18.01.2011, 19:53	Isssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich schreib doch nciht für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = x sondern $\begin{eqnarray} \lambda_{1}= x^{4} -2x -1 <br /> \end{eqnarray}$ für die erste Gleichung.
18.01.2011, 22:53	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe multiplizierst du jedes Polnyom mit einem anderen Koeffizienten und löst das LGS, welches sich dadurch ergibt zunächst nach einem beliebigen Koeffizienten auf. Auf die anderen kannst du dann schließen, da du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten hast.
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18.01.2011, 22:56	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
In meiner Schreibweise ist $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} x^4-2x-1 \end{eqnarray}$ . Die Lambdas sind die Koeffizienten in der Linearkombination, dh. Skalare, keine Vektoren. Wir habe also die Gleichung $\begin{eqnarray} 0= \sum_{i=1}^4\lambda_i\cdot a_i(x)=\lambda_1(x^4 - 2x -1)+\lambda_2(3x^4 -2x^3 + 5x^2 -2)+\lambda_3(x^3 +x^2 +x )+\lambda_4(7x^2 + 8x +1) \end{eqnarray}$ und auf der rechten Seite kann man ausmultiplizieren und gleiche Potenzen zusammenfassen
19.01.2011, 16:14	Issssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich jetzt nur noch die rechte Seite ausmultiplizieren? Bin ich danach fertig? Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz :S
19.01.2011, 18:31	Isssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand helfen? :S
19.01.2011, 18:45	isssyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre das so weit richtig? x^4 (b1+3b2)+ x^3 (-2b2+b3) + x²( 5b2+b3+7b4)+x(-2b1+b3+8b4)+(-b1-2b2+b4)=0 b steht für lambda .. wäre das so weit richtig und was müsste ich als nächstes tun ??
20.01.2011, 10:20	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das stimmt soweit. Ein Polynom ist genau dann identisch 0, wenn alle Koeffizienten 0 sind. Das gibt dann ein LGS in den Lambdas

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