Determinantenfunktion

17.01.2011, 23:30

Ibn Batuta

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Determinantenfunktion

Hi,

ich glaube die Frage zu beantworten ist ziemlich banal, aber ich stehe voll auf dem Schlauch.

Geht um die Menge $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ der 2x2 symmetrische Matrizen mit reellen Koeffizienten. Folgende Matrizen sind gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} a_2=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} a_3=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe bereits bewiesen, dass die Menge der 2x2 symmetrische Matrizen ein UVR der 2x2 Matrizen ist mit der Dimension 3 und die obigen drei Matrizen eine Basis bilden.

Gegeben ist nun eine Determinantenfunktion $\begin{eqnarray*} \Delta: W\longrightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3)=3 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich folgende symmetrische Matrizen.

$\begin{eqnarray*} x_1=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn $\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ berechnen? Leider habe ich gar keine Idee. verwirrt

verwirrt

Danke.

Ibn Batuta

17.01.2011, 23:37

chrizke

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Sicher bin ich mir auch nicht, aber:

Wenn die Matrix symmetrisch und 2x2 ist, dann ist sie ja von der Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1 & a_2\\a_2 & a_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und demnach dürfte deine Determinatenfunktion einfach Folgendes sein:

$\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3) = \operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\a_2 & a_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 23:49

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} a_1, a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ sind aber keine reellen Koeffizienten sondern symmetrische Matrizen, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3)=3 \end{eqnarray*}$

Wie die Determinantenfunktion einer allgemeinen 2x2-Matrix aussieht ist klar. Das ist einfach $\begin{eqnarray*} ad-bc \end{eqnarray*}$ einer Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nur leider kann ich damit nicht so viel anfangen.

Ibn Batuta

18.01.2011, 00:03

tigerbine

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Nur eine Vermutung.
Frage, was versteht ihr denn unter $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3)=3 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Man kann n Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die Determinante derjenigen quadratischen Matrix zuordnen, deren Spalten die gegebenen Vektoren bilden.

Den drei Matrizen kann man Koordinatenvektoren zuordnen. Egal wie man das nun macht, die Schritte, wie man die Koordinaten der neuen Matrizen berechnet, sollte ja gleich bleiben. Dann ändert man auf Gewisse Art und Weise die "Matrix" aus dem Zitat und diesen Änderungen ist eine Au
swirkung auf die Determinante zugeordnet.

18.01.2011, 09:56

Ibn Batuta

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tigerbine: Gute Frage. Das ist mir noch schleierhaft. Ich habe den Text von dir nicht verstanden. Vielleicht magst du es mir (gerne können sich auch andere Helfer beteiligen) mit einem Beispiel erklären.

Danke.

Ibn Batuta

18.01.2011, 10:28

Ehos

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Ich vermute mal, dass man unter der "Determinantenfunktion" eine Linearkombination der einzelnen Determinanten versteht, z.B.

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3)=\alpha_1\cdot \det(x_1)+\alpha_2\cdot \det(x_2)+\alpha_3\cdot \det(x_3) \end{eqnarray*}$

Wenn diese Determinantenfunktion speziell für die Argumente $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3)=3\,\,\ \end{eqnarray*}$ ergeben soll, dann kann man die Koeffizienten z.B. wie folgt wählen

$\begin{eqnarray*} \alpha_1=+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_3=-1 \end{eqnarray*}$

Das ergibt in der Tat wegen $\begin{eqnarray*} \det(a_1)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \det(a_2)=\det(a_3)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=\underbrace{\det(a_1)}_{=1}-\underbrace{det(a_2)}_{=-1}-\underbrace{\det(a_3)}_{=-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die 3 Matrizen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Basismatrizen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ darstellt, kann man daraus mit Hilfe der Recheregeln von Determinanten die obige Determinantenfunktion $\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

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18.01.2011, 12:46

Ibn Batuta

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Vielen Dank, Ehos. Jetzt ist mir das klar!

Ibn Batuta

18.01.2011, 13:18

Ibn Batuta

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Hi Ehos,

die Determinante von $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ist doch 0. Ändert sich an den $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ etwas?

Ibn Batuta

18.01.2011, 15:06

tigerbine

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Würdest du nach der Korrektur die Lösung hier einstellen?

Mein Weg sieht nicht so aus wie der von Ehos. Ich stelle die Matrizen als Koordinatenvektoren dar. Daraus baue ich die Matrix, von der die Determinante bestimmt wird. Das sollte das von mir gepostete Zitat sein.

Danke.

19.01.2011, 09:48

Ehos

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@Ibn Batuta
Du hast recht. Ich habe da einen Fehler gemacht.
------
Offensichtlich kann man jede symmetrische 2x2-Matrix A als Linearkombination der symmetrischen Matrizen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ wie folgt darstellen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_{11} & A\\ A & A_{22} \end{pmatrix} = A_{22}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{a_1}+(A_{22}-A_{11})\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{a_2}+A \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{a_1} \end{eqnarray*}$

Damit kann man deine 3 Matrizen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ leicht darstellen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{a_1}-4\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{a_2}+2 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{a_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{a_1}-3\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{a_2}+3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{a_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 4\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{a_1}+2\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}}_{a_2}+1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{a_1} \end{eqnarray*}$

Jetzt suchen wir eine Determinantenfunktion, die für gewisse 2x2-Determinanten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ den Wert 3 ergeben soll, also $\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3)=3 \end{eqnarray*}$ . Wir wählen als Determinantenfunktion eine Linearkombination der einzelnen Determinanten, also

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3)=\alpha_1 \cdot det(x_1)+\alpha_2 \cdot det(x_2)+\alpha_3 \cdot det(x_3) \end{eqnarray*}$

Um die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \end{eqnarray*}$ zu bekommen, nutzen wir die Forderung, dass bei der Determinantenfunktion 3 herauskommen soll, wenn man als Argumente die Matrizen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ wählt, also

$\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3)=\alpha_1 \cdot \underbrace{det(a_1)}_{=1}+\alpha_2 \cdot \underbrace{det(a_2)}_{=0}+\alpha_3 \cdot \underbrace{det(a_3)}_{1}=3 \end{eqnarray*}$

Also kann man als Koeffizienten z.B. wählen $\begin{eqnarray*} \alpha_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_3=2 \end{eqnarray*}$
-----------------------
Die Aufgabe ist irgendwie nicht eindeutig gestellt, denn der Begriff "Determinantenfunktion" bleibt unklar. Das ist ein typisches Beispiel dafür, wie man einfache Sachverhalte durch unklare Fragestellung künstlich kompliziert macht. Der pädagogischer Wert dieser Aufgabe ist jedenfalls gering.

19.01.2011, 10:09

Ibn Batuta

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Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung, Ehos. smile

smile

Die Aufgaben in meinen Übungsblättern sind öfter mal so unklar wie diese bzw. werden unnötig künstlich kompliziert gestellt, wie du es schön formuliert hast.

Werde die Lösung hier reinposten, wenn wir sie nächste Woche korrigiert haben!

Ibn Batuta

19.01.2011, 11:14

ThomasL

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falls ich noch meine Meinung dazugeben darf:
Ich würde die $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombinationen der $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ darstellen (wie im Beitrag von Ehos) und einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3)=\Delta(a_1-4a_2+2a_3, a_1-3a_2+3a_3, 4a_1+2a_2+a_3) \end{eqnarray*}$
nun kann man die Multilinearität ausnutzen. Wenn zwei Argumente gleich sind, gibt es 0, also z.B. $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_1)=0 \end{eqnarray*}$ . So bleiben dann noch 6 Summanden übrig. Das Resultat war bei mir -75 ...

19.01.2011, 13:01

Reksilat

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Zitat:

Original von Ehos
Ich vermute mal, dass man unter der "Determinantenfunktion" eine Linearkombination der einzelnen Determinanten versteht, ...

Zitat:

Original von Ehos
Die Aufgabe ist irgendwie nicht eindeutig gestellt, denn der Begriff "Determinantenfunktion" bleibt unklar. Das ist ein typisches Beispiel dafür, wie man einfache Sachverhalte durch unklare Fragestellung künstlich kompliziert macht. Der pädagogischer Wert dieser Aufgabe ist jedenfalls gering.

Hallo Ehos,

Wenn Dir die Begriffe, die in der Aufgabenstellung auftauchen nicht geläufig sind, dann recherchiere bitte, frage nach oder lass die Aufgabe einfach bleiben.
Mit Urteilen, in denen Du der Aufgabenstellung nur aufgrund fehlender Definitionen Sinn und Wert absprichst, ist hier niemandem geholfen.
Du hast Dir hier mit kompetenten (und leider häufig auch zu ausführlichen) Antworten einen gewissen Ruf erworben und solltest Deine dementsprechend gewichtige Meinung deshalb lieber etwas bedachter kundtun.

In diesem Thread war es ganz klar die Aufgabe von Ibn Batuta, den Begriff Determinantenfunktion zu erklären. Ein Link zu Wikipedia hätte dabei gereicht.

Der Ansatz von Thomas folgt dieser Definition.

Gruß,
Reksilat.

21.02.2011, 11:03

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von ThomasL
falls ich noch meine Meinung dazugeben darf:
Ich würde die $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombinationen der $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ darstellen (wie im Beitrag von Ehos) und einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3)=\Delta(a_1-4a_2+2a_3, a_1-3a_2+3a_3, 4a_1+2a_2+a_3) \end{eqnarray*}$

Angesichts meiner morgigen Klausur und ich noch immer keinen blassen Schimmer von Determinantenfunktionen habe, meine Frage: wie komme ich auf Linearkombination?

Ibn Batuta

22.02.2011, 16:49

Reksilat

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Du hast doch oben Deine Basis $\begin{eqnarray*} \{a_1,a_2,a_3\} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind auch gegeben. Nun ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Matrix, somit (eindeutig) mit dieser Basis darstellbar und mit ein wenig Probieren sieht man schnell, dass $\begin{eqnarray*} x_1=a_1-4a_2+2a_3 \end{eqnarray*}$ ist. Ebenso mit $\begin{eqnarray*} x_2, x_3 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

22.02.2011, 17:02

tmo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Angesichts meiner morgigen Klausur und ich noch immer keinen blassen Schimmer von Determinantenfunktionen habe, meine Frage: wie komme ich auf Linearkombination?

Reksilat hat es zwar schon gesagt, aber um sicher zu gehen, dass du es auch wirklich wahrgenommen hast, weil du irgendwie nicht wirklich drauf eingehst und auch nochmal schreibst, dass du es nicht wirklich weißt.

Der Ansatz von Ehos war falsch. Determinantenfunktion bedeutet, dass die Funktion multilinear und alternierend ist.

Diese beiden Eigenschaften helfen dir $\begin{eqnarray*} \Delta(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ (zusammen mit der Darstellung als Linearkombination, wie Reksilat schon erklärt hat) auf $\begin{eqnarray*} \Delta(a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ zurückzuführen und dann kannst du einfach überall für diese Determinante 3 einsetzen.

Die "bekannte" Determinante für quadratische Matrizen ist ja nichts anderes als die eindeutige Determinantenfunktion $\begin{eqnarray*} \det: (K^n)^n \to K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \det(I_n)=1 \end{eqnarray*}$ .

Dabei habe ich bewusst $\begin{eqnarray*} (K^n)^n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ geschrieben, um klar zu machen, dass sich die Multilinearität und Alternierheit (komisches Wort) auf die Spalten, also Elemente aus dem $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ bezieht.

22.02.2011, 18:06

Ibn Batuta

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Danke euch allen für die Erklärung.
Nachdem ich das heute in der Früh um 6 Uhr noch ca. 2 Stunden angeschaut habe, habe ich es auch verstanden. Freude

Freude

Ibn Batuta

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